Forum de mathématiques - Bibm@th.net

FabFab444444

Invité

Calcul de la longueur d'un arc à partir de 3 points

Bonjour,

Je cherche à pouvoir calculer la longueur d'un arc à partir de 3 points, dans un système cartésien en ayant seulement les coordonnées en X et Y de ces points. (mais pas le centre de l'arc)

Une image sera plus parlante:

Merci de votre aide !

FabFab444444

Invité

Re : Calcul de la longueur d'un arc à partir de 3 points

FabFab444444

Invité

Re : Calcul de la longueur d'un arc à partir de 3 points

Désolé, l'image ne fonctionne pas...

Voici le lien:
image

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 862

Re : Calcul de la longueur d'un arc à partir de 3 points

Bonjour

Pour moi, il manque au moins une donnée !

A comléter donc ...

B-m

FabFab444444

Invité

Re : Calcul de la longueur d'un arc à partir de 3 points

Et bien malheureusement non !

Ce sont les seules données mais je sais que la longueur de l'arc est calculable par rapport à celles-ci.
Mais comment ? Ca je ne sais pas !
Je suis programmeur, pas mathématicien ;-)

Ernst

Membre

Inscription : 30-01-2024

Messages : 339

Re : Calcul de la longueur d'un arc à partir de 3 points

Pour moi il y en a assez. D'un côté j'ai une droite horizontale qui passe par C, d'un autre j'ai le segment AB dont il est possible de calculer la médiatrice. L'intersection de cette médiatrice et de la droite horizontale va donner le centre du cercle, ce centre permet le calcul du rayon et des angles, à partir de là il doit y avoir des formules qui vont bien...

FabFab444444

Invité

Re : Calcul de la longueur d'un arc à partir de 3 points

Là est toute la question...

Je sais calculer la longueur de la corde donc la médiatrice mais je bloque à partir du point d'intersection.
Je n'ai absolument aucune idée de comment calculer ce point.

J'ai vu des formules (que je ne comprends absolument pas) mais elles se basent sur des équations, et non pas des coordonnées

FabFab444444

Invité

Re : Calcul de la longueur d'un arc à partir de 3 points

D'ailleurs c'est LA grande question !
J'aurai peut-être dû le préciser dès le début...

Ce qui manque pour pouvoir terminer mes calculs, c'est le centre en X de l'arc !
Et donc trouver les coordonnées de l'intersection (axe vert)

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 862

Re : Calcul de la longueur d'un arc à partir de 3 points

Hum !

Qui a dit que le centre du cercle est à l'intersection des droites vertes ? Sinon c'est facile ...

B-m

FabFab444444

Invité

Re : Calcul de la longueur d'un arc à partir de 3 points

Le point d'intersection des axes verts (centre de l'arc) est connu, mais en Y seulement !
Il s'agit des lignes blanches en pointillés. Y=58
Il manque justement le X de cette intersection qui permettrait de calculer la longueur de l'arc

Matou

Invité

Re : Calcul de la longueur d'un arc à partir de 3 points

Bonjour,

Sur ton dessin, on a l'impression que le point C est sur une droite horizontale passant par le centre du cercle.
Si ce n'est pas le cas, ton problème est impossible à résoudre. Mais dans ce cas, à quoi sert donc ce point C ?

On a trois points :
$A(37, 131)$
$B(103,177)$
$C(103,58)$

Je vais partir de l’hypothèse que $M$, le centre du cercle,admet la même ordonnée que $C$. Il a donc pour coordonnées $x$ et $58$, où $x$ est inconnu.
J'appelle $R$ le rayon du cercle.

Écrivons que $A$ et $B$ sont sur le cercle de centre $M$.
$(37-x)^2+(131-58)^2 = R^2$
$(103-x)^2+(177-58)^2 = R^2$

Donc, $(37-x)^2+(131-58)^2 = (103-x)^2+(177-58)^2$
Il vient $x \approx 136,909090909$ si je ne me suis pas trompé.

On en déduit la valeur : $R \approx 123,736924345$, en remplaçant $x$ par sa valeur.

Maintenant, il faut calculer l'angle $\widehat{AMB}$
Le vecteur $\vec{MA}$ a pour coordonnées $(−99,90909, 73)$.
Le vecteur $\vec{MB}$ a pour coordonnées $(-33,90909, 119)$.

Le produit scalaire des deux vecteurs, c'est $P=((−99,90909) \cdot (-33,90909)) + ((73) \cdot (119))$
Le cosinus en radians de l'angle entre les deux vecteurs, c'est :
$cos(\theta) = \frac {((−99,90909) \cdot (-33,90909)) + ((73) \cdot (119))}{((−99,90909)^2 + (73)^2) \cdot ((-33,90909)^2 + (73)^2 )}$

Il reste à multiplier $R$ par $\theta$ pour avoir la longueur de l'arc.

Vérifie tout, je suis très fatigué par un vilain virus...

Matou

Ernst

Membre

Inscription : 30-01-2024

Messages : 339

Re : Calcul de la longueur d'un arc à partir de 3 points

Hello,

Tout ça me paraît très bon, je tombe sur la même chose. Les coordonnées X Y du centre sont 136.9090909 et 58, le rayon du cercle est 123.7369244 et la longueur de l’arc de cercle AB est 81.93762041 (un poil plus que la longueur du segment AB), ce qui a l’air correct.

À noter que j’ai fait le truc avec Maple, il se débrouille avec les formules et les résultats en interne, et je me contente d’évaluer en flottant les résultats. Vive le XXIe siècle !

(j'ai voulu mettre le script Maple en mode texte et rien d'autre, je me suis fait jeter avec un No Spam, trop bizarre)

> feuille de calcul <

FabFab444444

Invité

Re : Calcul de la longueur d'un arc à partir de 3 points

Super génial ! Merci !
Les valeurs sont bonnes !!!
Par contre, je n'ai pas compris comment tu passes de (37-x)²+(131-58)²=(103-x)²+(177-58)²
à x=136,909090909
Je suis vraiment nul pour ça...
Comment tu extrait x de la formule ?

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 862

Re : Calcul de la longueur d'un arc à partir de 3 points

Matou et Ernst, trop bien !

B-m

Ernst

Membre

Inscription : 30-01-2024

Messages : 339

Re : Calcul de la longueur d'un arc à partir de 3 points

Par contre, je n'ai pas compris comment tu passes de (37-x)²+(131-58)²=(103-x)²+(177-58)²
à x=136,909090909
Je suis vraiment nul pour ça...
Comment tu extrait x de la formule ?

Euh, perso je suis passé par l'équation de la droite qui passe par AB, cette droite permet de calculer l'équation de la médiatrice, qui est 66x + 46y - 11704 = 0. Or cette médiatrice intercepte la ligne horizontale quand y = 58. Je remplace donc y par cette valeur dans l'équation, qui devient 66x + 46*58 - 11704 = 0. Cela donne 66x = 11704-2668, et j'obtiens x = 9036/66.

À noter que Maple n'est pas obligé de l'afficher, mais en pratique je vérifie le truc à chaque étape, ce qui m'évite pas mal de confusion ou d'erreur. Par exemple au fil des calculs je me suis aperçu que le centre du cercle ne correspondait pas à ton quadrillage, oups, j'ai vérifié, je m'étais trompé de ligne de référence, pas bien. J'ai refait, ça collait, youpi.

Ernst

Membre

Inscription : 30-01-2024

Messages : 339

Re : Calcul de la longueur d'un arc à partir de 3 points

Matou et Ernst, trop bien !

Merci beaucoup.

Rigolo, ce truc-là, il y a à trouver des équations de droites, l'angle au sommet d'un triangle, et la formule d'un arc de cercle avec rayon et angle (merci Google).

Soit dit en passant, coup de chapeau à Matou, des formules pareilles j'en suis incapable, en plus je n'étais pas raccord sur une valeur, j'ai vérifié, c'est bien moi qui m'étais trompé... Bref, s'il n'avait pas posté, j'étais dans les choux.

FabFab444444

Invité

Re : Calcul de la longueur d'un arc à partir de 3 points

J'ai enfin trouvé "x" !!!

         103 ² + ( 177 - 58 ) ² - ( 131 - 58 ) ² - 37 ²
x =  ---------------------------------------------------
                   - ( 2 * 37 ) + ( 2 * 103 )

Matou

Invité

Re : Calcul de la longueur d'un arc à partir de 3 points

Bonjour et merci pour ... vos remerciements,

$(37-x)^2+(131-58)^2 = (103-x)^2+(177-58)^2$
$(37-x)^2 - (103-x)^2 = (177-58)^2 - (131-58)^2$

On a des différences de carrés, il faut écrire que $a^2-b^2 = (a+b) \cdot (a-b)$
avec $a=37-x$ et $b=103-x$. Pour la partie droite de l'égalité, on fait comme on veut, ce sont des valeurs numériques, la calculette ou l'ordi se débrouillent avec ça.
Donc, $a-b = (37-x) - (103 - x) = -66$ et $a+b = (37-x) + (103 - x) = 140 - 2x$

Au final, on a $-66(140-2x)= (177-58)^2 - (131-58)^2$

Bonne journée

Matou

FabFab444444

Invité

Re : Calcul de la longueur d'un arc à partir de 3 points

Re-bonjour !

En avançant dans mon développement, je suis tombé sur un autre cas, que je n'arrive pas non plus à résoudre malgré le remplacement "logique" des valeurs.

Je m'explique:

Les valeurs sont les mêmes sauf qu'au lieu d'avoir le centre Y=58 et chercher le centre X, on connaît à la place le centre X=136.90909090 et on cherche le centre Y !

La logique est pourtant la même ? Non ??

Ernst

Membre

Inscription : 30-01-2024

Messages : 339

Re : Calcul de la longueur d'un arc à partir de 3 points

Hello,

oui, la logique est la même. Le segment AB a permis de déterminer une médiatrice, comme ce segment n'a pas changé, l'équation de la médiatrice n'a pas changé non plus, et donc c'est toujours 66x + 46y - 11704 = 0. Du fait que cette fois on connaît x et qu'on cherche y, on transforme cette équation pour obtenir 46y = 11704-66x, de là y = (11704-66x)/46, et si on remplace maintenant x par sa valeur numérique, on trouve bien 58.

FabFab444444

Invité

Re : Calcul de la longueur d'un arc à partir de 3 points

Comment tu trouves 11704 ?

Ernst

Membre

Inscription : 30-01-2024

Messages : 339

Re : Calcul de la longueur d'un arc à partir de 3 points

Comment tu trouves 11704 ?

Dans un premier temps, j’ai un segment dont les deux extrémités sont A et B. Comme je l’ai déjà dit je crois, moi je suis un simple amateur, adepte du numérique et d’Internet. Je demande donc à un moteur de recherche « équation médiatrice segment » et je tombe sur quantité de sites regorgeant de méthodes dont il suffit de suivre les recettes pour trouver cette équation. Bon. Sauf que digne produit du XXIe siècle, je suis également paresseux, faut le savoir. J’utilise donc un logiciel (en l’occurence Maple, qui permet le calcul symbolique) et je lui demande de me faire le taf. Je lui donne les coordonnées AB, je lui demande de calculer le milieu, je lui demande de calculer la perpendiculaire à AB qui passe par ce milieu, pof il me pond tout le bouzin, je n’ai qu’à récupérer l’équation. Et encore, parce que tu le demandes, normalement je ne m’en sers même pas, c’est dire.

Ce qui est bien, avec ce système, c’est que plutôt qu’apprendre des formules que j’oublierai tôt ou tard, j’apprends à utiliser un programme qui contient ces formules. C’est le même système que passer par Internet, il y a des gens qui les connaissent et font des sites, d’autres qui les connaissent et font des programmes. La concrétisation de l'Encyclopédie du XVIIIe où les connaissances devaient être accessibles à tous, perso je trouve cela inestimable. À terme, je pense qu’il existera des système numériques complètement autonomes auxquels tu demanderas directement les résultats, un peu comme je le fais avec une calculatrice, un programme ou aujourd’hui ChatGPT.

Cela n’exclut pas les erreurs bien sûr, d’où la nécessité de la redondance et de la vérification, on est d'accord - d'où ma reconnaissance sincère envers Matou.

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 862

Re : Calcul de la longueur d'un arc à partir de 3 points

Bonjour à tous !

En voyant vos palabres, je me suis dit qu'il valait mieux que j'en revienne à GeoGebra !

Voilà pour la première question :

Donc on trouve arc = 81,937 620 ...

Quant à la deuxième question, dans la 1ère on trouve le centre D (sur mon dessin) qui est à justement 136.90909090 !

Donc à priori on doit retrouver Y = 58 !!!

Voilà les "automaths" por Matou ... (;-)

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (12-02-2024 11:03:34)

Ernst

Membre

Inscription : 30-01-2024

Messages : 339

Re : Calcul de la longueur d'un arc à partir de 3 points

Bonjour,

Wouaou, magnifique, une calculatrice géométrique !

Finalement les maths, ça revient à connaître les bons outils. Ou bien les formules, ou bien les programmes, ou bien les gens qui savent.
(et les trois c’est encore mieux bien sûr)

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 862

Re : Calcul de la longueur d'un arc à partir de 3 points

Youpi !!!