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kadaide

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Suite numérique

Bonjour,

Soit la suite (U) définie par :U(n+1)=0,85*U(n)*(1-U(n))
On admet que pour tout n naturel, U(n) et 1-U(n) dans [0,1]
a) Démontrer que: 0<= U(n+1) <= 0,85*U(n)
b) Démontrer que:0 <= U(n) <= 0,5*0,85^n
c) limite de la suite.

a) 0<=1-U(n)<=1
0<=0,85*U(n)*(1-U(n))<=1*0,85*U(n))
0<= U(n+1) <= 0,85*U(n)
b) ? je ne vois pas !
c) Un et U(n+1) ont même limite L
L=0,85L(1-L)
L=0 ou L=-3/7
Donc L=0

Merci pour la question b)

Merci d'avance.

Rescassol

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Re : Suite numérique

Bonjour,

L'énoncé n'est pas complet.

Cordialement,
Rescassol

Glozi

Invité

Re : Suite numérique

Bonjour,
Tu as montré que pour tout $n\geq 0$, on a $0\leq u_{n+1}\leq 0.85 u_n$.
Par exemple : $u_0=0.5$ donc $u_1 \leq 0.85\times 0.5$, puis $u_2 \leq 0.85 u_1 \leq 0.85\times 0.85 \times 0.5 = 0.85^2 \times 0.5$ puis $u_3 \leq 0.85 u_2 \leq 0.85 \times 0.85\times 0.85 \times 0.5 = 0.85^3\times 0.5$ etc... (dans ce etc... il y a un raisonnement par récurrence !)

Pour la c) il y a plus simple : tu as $0\leq u_n \leq 0.5\times 0.85^n$, quelle est la limite du membre de droite de cette inégalité ?
Bonne journée

kadaide

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Re : Suite numérique

pour la question c):
lim 0,85^n = 0 car 0<0,85<1
donc lim 0,85^n*05=0

Question b):
U0=0,5
U1<0,85*05
U2<0,85²*0,5

On peut conjecturer que: U(n+1)<(0,85^n)*0,5
pour la lisibilité j'utilise "<" et non "<="
Supposons que pour n fixé: U(n+1)<(0,85^n)*0,5
Il faut démontrer que: U(n+2)<(0,85^(n+1))*0,5

J'ai essayé mais je n'obtiens rien !

Glozi

Invité

Re : Suite numérique

Bonjour,
Quelques remarques :
- la propriété voulue n'est pas $u_{n+1}\leq 0.5\times 0.85^n$ mais plutôt $u_n \leq 0.5 \times 0.85^n$.
- il manque l'initialisation.
- pour l'hérédité, il faut utiliser la première question,et utiliser le fait que $a\leq b$ et $\lambda\geq 0$ implique que $\lambda a \leq \lambda b$, ainsi que la transitivité de la relation d'ordre.
Bonne journée

kadaide

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Re : Suite numérique

Pn: Un<0,5*0,85^n
Initialisation: U0=0,5 et U1=0,425  U1<U0 vrai
On sait que:  U(n+1) < 0,85*U(n)
et 0,85*Un <= 0,5*0,85^(n+1)
Par transitivité: U(n+1)<0,5*0,85^(n+1)
Donc l'hérédité est démontrée ( Il y a des types de rédaction que je connais)

Glozi

Invité

Re : Suite numérique

Je pense qu'il y a de l'idée et que tu as tous les arguments mais que c'est mal rédigé.
L'initialisation est bizarre, pourquoi est-ce que tu vérifies que $u_1<u_0$ ?
Quand on rédige l'hérédité on annonce qu'on va montrer l'hérédité, et on commence ensuite en disant : "Soit $n\geq 0$, supposons que $P_n$ soit vraie pour ce $n$, montrons alors que $P_{n+1}$ est aussi vraie." ou un truc équivalent. Car là dans ta rédaction on voit mal ce que tu supposes et ce que tu cherches à montrer.

kadaide

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Re : Suite numérique

L'initialisation est bizarre, pourquoi est-ce que tu vérifies que u1<u0 ?

Parce que Pn est sous forme d'inégalité,  c'est comme ça que j'ai appris.

Pour la rédaction: j'ai dit: ( Il y a des types de rédaction que je connais).

Sur une copie je rédige au maximum.

Je pense que c'est la première fois que je vois ce genre de suite avec Un au carré.

Merci de m'avoir aidé.

kadaide

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Re : Suite numérique

Oui, j'ai réfléchit  un peu plus:
Comme 0< Un <1 et U1 =0,425 donc  0<U1<1 alors Pn vraie au rang 1