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Borassus

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Quelles différences entre Démontrer, Montrer, Vérifier, Justifier ?

Bonjour,

Pour faire suite à la discussion https://www.bibmath.net/forums/viewtopi … 63#p109563, intitulée « Erreurs sur la fonction inverse menant souvent à des INCOHÉRENCES !», comment interpréter correctement ces trois verbes qu'on rencontre très souvent dans les énoncés d'exercice.

Merci d'avance de vos retours

Dernière modification par Borassus (29-01-2024 16:25:40)

DeGeer

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Re : Quelles différences entre Démontrer, Montrer, Vérifier, Justifier ?

Bonjour
Pour moi, les deux premiers verbes sont à peu près synonymes, tandis que le dernier est plutôt utilisé pour des vérifications "mécaniques" où on applique une procédure. En tous cas, je pense que le concepteur du sujet/du cours/de la fiche d'exercices doit faire attention à la cohérences de ses notations en utilisant le même verbe pour demander la même chose (par exemple, rédiger une démonstration mathématique). Je me souviens d'un sujet de concours où les candidats avaient été déstabilisés par l'usage du verbe "justifier".

Dernière modification par DeGeer (29-01-2024 16:14:46)

Borassus

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Re : Quelles différences entre Démontrer, Montrer, Vérifier, Justifier ?

Bonjour DeGeer,

Ah oui, j'avais oublié Justifier !

Je l'ai donc ajouté au titre de la discussion.

Dernière modification par Borassus (29-01-2024 16:26:15)

DrStone

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Re : Quelles différences entre Démontrer, Montrer, Vérifier, Justifier ?

Bonsoir.

Il me semble évident que, quel que soit le domaine, les verbes «monter», «démontrer» et «justifier» sous-entendent qu’il faille convaincre son interlocuteur (fût-il professeur, correcteur, jury, juge…). Dès lors, il semble impensable en mathématique de répondre à ces verbes autrement qu’en effectuant un raisonnement logique : en ce sens, ils sont tous trois synonymes.

Le verbe «vérifier» quel que soit le domaine (encore), en revanche, sous-entend qu’on est arrivé à (ou qu’on nous a donné) un résultat à l’aide d’un calcul, d’un raisonnement, de pièces à convictions, et qu’on doit maintenant s’assurer que le résultat est juste.

Exemples:

• (Dé)montrer que $(\mathbf{Z}, +)$ est un groupe.

• Justifier que $\mathbf{Q}$ est dense dans $\mathbf{R}$.

• Vérifier, à l'aide d'exemples, que si on additionne la somme et la différence de deux nombres, on obtient le double du plus grand nombre.

Dernière modification par DrStone (29-01-2024 22:24:44)

DrStone

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Re : Quelles différences entre Démontrer, Montrer, Vérifier, Justifier ?

Notez aussi qu’il existe encore quatre autres verbes fréquemment utilisés en mathématique :

• «Calculer», «déterminer» et «résoudre» qui sont synonymes dans ce contexte et qui consistent à trouver une valeur, souvent numérique, parfois littérale, d’une expression.
  Par exemples : déterminer $\cos(72° 20')$ ; calculer $\int 2x^2-x+3\ dx$ ; résoudre l'équation $\cos x = \cos 12°$.

• «Étudier» qui consiste le plus souvent à analyser une expression afin d’en tirer des conclusions.
  Par exemple : étudier la fonction $f(x)=x^2+2\sqrt{x^2}$.

Dernière modification par DrStone (29-01-2024 22:53:24)

Borassus

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Re : Quelles différences entre Démontrer, Montrer, Vérifier, Justifier ?

Bonsoir,

Merci, DrStone, de ces indications et explications.

Il me semble évident que, quel que soit le domaine, les verbes «montrer», «démontrer» et «justifier» sous-entendent qu’il faille convaincre son interlocuteur (fût-il professeur, correcteur, jury, juge…). Dès lors, il semble impensable en mathématique de répondre à ces verbes autrement qu’en effectuant un raisonnement logique : en ce sens, ils sont tous trois synonymes.

Le verbe «vérifier» quel que soit le domaine (encore), en revanche, sous-entend qu’on est arrivé à (ou qu’on nous a donné) un résultat à l’aide d’un calcul, d’un raisonnement, de pièces à convictions, et qu’on doit maintenant s’assurer que le résultat est juste.

Je ne suis pas en mesure en ce moment de rechercher parmi ma bibliothèque éparse de sujets de contrôle et de DM — je photographie souvent les sujets intéressants que je vois chez mes élèves, ou demande de me les envoyer —, mais je rencontre assez souvent les verbes synonymes utilisés dans un même exercice :
dans une question, c'est "Démontrer", à la question suivante, cela peut être "Montrer" ou "Justifier", voire "Vérifier", ainsi de suite plusieurs fois dans l'énoncé.

L'exemple emblématique est lorsqu'on demande de calculer la dérivée d'une fonction tout en fournissant la réponse (alors que le calcul de cette dérivée n'a rien de sorcier...). Cela peut être (je vois les quatre variantes) :
« Démontrer que la dérivée $f'(x) = {expression}$ »
« Montrer que la dérivée $f'(x) = {expression}$ »
« Justifier que la dérivée $f'(x) = {expression}$ »
« Vérifier que la dérivée $f'(x) = {expression}$ »

étudier la fonction $f(x)=x^2+2\sqrt{x^2}$.

Cela donne une joile pointe d'épée.

Dernière modification par Borassus (30-01-2024 00:52:10)

DrStone

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Re : Quelles différences entre Démontrer, Montrer, Vérifier, Justifier ?

Bonjour Borassus.

Je ne vois qu’une seule explication probable à cette manie : éviter la répétition comme la peste. En effet, n’oublions pas que nous autres français aimons bien montrer que nous avons la plus grosse (culture générale) en trouvant des synonymes… ce qui en est arrivé au point où nous apprenons dès le plus jeune âge que répéter des mots est le Mal absolu.

Du coup ça trifouille, ça bafouille, ça tambouille, tout en utilisant des mots mal maîtrisés (je ne juge pas : je fais sans aucun doute la même chose) dans le but d’adresser cette injonction ; y compris dans des contextes (comme les mathématiques) non justifiés.

Borassus

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Re : Quelles différences entre Démontrer, Montrer, Vérifier, Justifier ?

Je ne vois qu’une seule explication probable à cette manie : éviter la répétition comme la peste. En effet, n’oublions pas que nous autres français aimons bien montrer que nous avons la plus grosse (culture générale) en trouvant des synonymes… ce qui en est arrivé au point où nous apprenons dès le plus jeune âge que répéter des mots est le Mal absolu.

Du coup ça trifouille, ça bafouille, ça tambouille, [...]

C'est peut-être la bonne explication à ce manque d'homogénéité. Bon diagnostic, Docteur !  :-)

C'est vrai qu'on pourrait trouver plein de synonymes et de périphrases pour les maths :
Pourquoi, par exemple, toujours utiliser "équation" alors qu'on pourrait l'appeler "question d'appartenance d'une variable à un ensemble de solutions"  ?

PS : J'aime beaucoup la précision entre parenthèses...  :-)
J'aime aussi «  ça trifouille, ça bafouille, ça tambouille »

Borassus

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Re : Quelles différences entre Démontrer, Montrer, Vérifier, Justifier ?

L'exemple emblématique est lorsqu'on demande de calculer la dérivée d'une fonction tout en fournissant la réponse (alors que le calcul de cette dérivée n'a rien de sorcier...). Cela peut être (je vois les quatre variantes) :
« Démontrer que la dérivée $f'(x) = {expression}$ »
« Montrer que la dérivée $f'(x) = {expression}$ »
« Justifier que la dérivée $f'(x) = {expression}$ »
« Vérifier que la dérivée $f'(x) = {expression}$ »

Si on veut vraiment "tenir la main" — je crois l'avoir déjà écrit, je dis souvent à mes élèves « A force de vous tenir par la main, on ne vous apprend pas à marcher ! » —, je trouve qu'une formulation telle que
« Calculer $f'(x) $  (1)

(1) Vous devez trouver $f'(x) = {expression}$

est beaucoup moins infantilisante, et permet de mieux faire comprendre ce que signifie "démontrer" quand le verbe est correctement utilisé :  établir en quelque sorte un théorème  concernant, avec une certain niveau de généralisation, un contexte particulier, pour ensuite l'appliquer aux données spécifiques de l'exercice.

Pour moi, "démontrer" devrait aboutir à « Exprimer en français le théorème que vous venez de "découvrir". »

DrStone

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Re : Quelles différences entre Démontrer, Montrer, Vérifier, Justifier ?

Bonjour Borassus.

Quitte à "tenir la main" des élèves, je crois que je préfère leur faire calculer la dérivée puis, deux ou trois questions plus loin, donner la réponse. Un peu comme ça :

[…]
a) calculer la dérivée de la fonction $f(x)=2x^2+3x+2$.
b) […]
c) […]
d) sachant que $f'(x)=4x+3$, […]
[…]

Pourquoi ? Tout simplement parce qu'il a été mainte fois démontré que les êtres humains ne lisent pas un sujet (ou un exercice) dans son entièreté avant de le commencer mais s'y prennent linéairement, question après question.

Dernière modification par DrStone (31-01-2024 12:15:28)

Borassus

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Re : Quelles différences entre Démontrer, Montrer, Vérifier, Justifier ?

Bonjour Doc,

Excuse-moi, je n'ai pas répondu de suite car j'étais en vacances à Saint-Malo durant la semaine.

Entièrement d'accord avec ton approche !
Certains énoncés introduisent la réponse de façon plus voilée en utilisant dans une question une expression devant normalement être calculée précédemment par l'élève.
Mais "Sachant que" est mieux.

Pourquoi ? Tout simplement parce qu'il a été mainte fois démontré que les êtres humains ne lisent pas un sujet (ou un exercice) dans son entièreté avant de le commencer mais s'y prennent linéairement, question après question.

J'explique souvent à mes élèves qu'ils ont tout intérêt, preuve à l'appui, à immédiatement tirer le maximum de déductions des informations données en début d'exercice, avant même de lire la première question. En effet, ce travail préparatoire permet ensuite de répondre à une bonne partie, si ce n'est à la totalité, des questions.
Et il est toujours plus facile de répondre à une question à laquelle on a déjà répondu !  :-)

J'ai à maintes reprises rencontré des exercices qui se traitaient d'emblée en totalité à partir des seules informations données en début d'énoncé. (L'élève était tout étonné(e) de voir que les questions ne servent en fait qu'à tenir la main, et n'apportent rien de plus.)
Parfois, seule la dernière question — la seule intéressante, en réalité — peut faire preuve d'une certaine originalité inattendue.