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Borassus

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Erreurs sur la fonction inverse menant souvent à des INCOHÉRENCES !

Bonjour,

Il y a des déductions fausses hyper classiques, que chacun peut très facilement commettre s'il n'y prend pas garde (en tant qu'élève, mais aussi, soyons honnêtes, en tant que prof ; je l'ai faite par inadvertance tout récemment avant de me rendre compte que j'aboutissais à une incohérence) :

Par exemple, déduire sans précaution d'une inégalité l'inégalité obtenue en inversant les membres et le signe d'inégalité.
Par exemple $x > 4  \Rightarrow  \displaystyle \frac{1}{x} < \displaystyle \frac{1}{4}$

Que signifie $\displaystyle \frac{1}{x} < \displaystyle \frac{1}{4}$ ?

Cette inégalité désigne l'ensemble des réels inférieurs à $\displaystyle \frac{1}{4}$, y compris 0 et les nombres négatifs.

En l'écrivant, vous faites donc implicitement franchir à $\displaystyle \frac{1}{x}$ une barrière infranchissable !!

L'écriture correcte, sans risque, est donc $x > 4 \Rightarrow  \color{red}{0} < \displaystyle \frac{1}{x} < \displaystyle \frac{1}{4}$.

Faire tout aussi attention aux déductions fausses suivantes :

$x < -4  \Rightarrow  \displaystyle \frac{1}{x} > - \displaystyle \frac{1}{4}$    (l'inverse d'un nombre négatif devient nul, puis positif !!)

$\displaystyle \frac{1}{x} > 4  \Rightarrow  x <   \displaystyle \frac{1}{4}$ (un nombre nécessairement positif devient nul, puis négatif !!)

$\displaystyle \frac{1}{x} < -4  \Rightarrow  x > - \displaystyle \frac{1}{4}$   (un nombre nécessairement négatif devient positif !!)

Donc, attention à la cohérence de ce que vous écrivez lorsque vous inversez les membres d'une inégalité ?  :-)

Bonne journée, et bonnes écritures correctes !

Dernière modification par Borassus (25-01-2024 09:48:59)

Roro

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Re : Erreurs sur la fonction inverse menant souvent à des INCOHÉRENCES !

Bonjour,

En effet, il peut arriver de se tromper... mais la raison de cette erreur est que la fonction $\displaystyle x\mapsto \frac{1}{x}$ n'est pas décroissante sur $\mathbb R^\star$...

Par exemple, on a : $-1<2$ mais en passant à l'inverse, on ne doit pas changer l'ordre et on a évidemment $\displaystyle \frac{1}{-1} < \frac{1}{2}$.

Roro.

Dernière modification par Roro (24-01-2024 10:54:25)

Borassus

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Re : Erreurs sur la fonction inverse menant souvent à des INCOHÉRENCES !

Bonjour,

En effet, il peut arriver de se tromper... mais la raison de cette erreur est que la fonction $\displaystyle x\mapsto \frac{1}{x}$ n'est pas décroissante sur $\mathbb R^\star$....

Roro.

Bonjour Roro,

Merci de ce complément d'explication (et de la confirmation sous-entendue par ...  :-)
Je dirais plutôt « la fonction $\displaystyle x\mapsto \frac{1}{x}$ n'est pas décroissante sur $\mathbb R$ »   (sans $\star$  :-)

Dernière modification par Borassus (24-01-2024 11:09:51)

Roro

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Re : Erreurs sur la fonction inverse menant souvent à des INCOHÉRENCES !

Re-bonjour,

Je dirais plutôt « la fonction $\displaystyle x\mapsto \frac{1}{x}$ n'est pas décroissante sur $\mathbb R$ »   (sans $\star$  :-)

Je persiste : « la fonction $\displaystyle x\mapsto \frac{1}{x}$ n'est pas décroissante sur $\mathbb R^\star$ » puisque de toute façon elle n'est pas définie en $0$ : cela n'a pas de sens de parler de sa monotonie sur $\mathbb R$.

Roro.

Dernière modification par Roro (24-01-2024 11:44:25)

Borassus

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Re : Erreurs sur la fonction inverse menant souvent à des INCOHÉRENCES !

Effectivement ! Au temps pour moi !

Par exemple, le manuel de Seconde de lelivrescolaire.fr précise en remarque p 122 (en remarque, alors qu'il s'agit d'une information TRÈS importante, dont la non compréhension de fond coûte beaucoup de points perdus en contrôle !)

« La fonction inverse n'est pas décroissante sur $\mathbb R^\star$. En effet, on a par exemple $-2 < 3$ mais $\displaystyle \frac{1}{-2} < \displaystyle \frac{1}{3}$ »

Il faut donc écrire : la fonction inverse est décroissante séparément sur $\mathbb R^{\star -}$, est décroissante séparément sur $\mathbb R^{\star +}$ , mais n'est pas décroissante sur $\mathbb R^\star$.

J'en prends bonne note ! Merci !

Dernière modification par Borassus (24-01-2024 13:19:08)

Tripolis

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Re : Erreurs sur la fonction inverse menant souvent à des INCOHÉRENCES !

Bonjour,

Il y a une déduction fausse hyper classique, que chacun peut très facilement commettre s'il n'y prend pas garde (en tant qu'élève, mais aussi, soyons honnêtes, en tant que prof ; je l'ai faite par inadvertance tout récemment avant de me rendre compte que j'aboutissais à une incohérence) :

Déduire sans précaution d'une inégalité l'inégalité obtenue en inversant les membres et le signe d'inégalité.
Par exemple $x > 4  \Rightarrow  \displaystyle \frac{1}{x} < \displaystyle \frac{1}{4}$

Que signifie $\displaystyle \frac{1}{x} < \displaystyle \frac{1}{4}$ ?

Cette inégalité désigne l'ensemble des réels inférieurs à $\displaystyle \frac{1}{4}$, y compris 0 et les nombres négatifs.

En l'écrivant, vous faites donc allégrement franchir à $\displaystyle \frac{1}{x}$ une barrière infranchissable !!
(Par quel miracle l'inverse d'un nombre positif peut-il devenir nul, voire négatif ??!!)

L'écriture correcte est donc $x > 4 \Rightarrow  \color{red}{0} < \displaystyle \frac{1}{x} < \displaystyle \frac{1}{4}$.

Faites tout aussi attention aux déductions fausses suivantes :

$x < -4  \Rightarrow  \displaystyle \frac{1}{x} > - \displaystyle \frac{1}{4}$    (l'inverse d'un nombre négatif devient nul, puis positif !!)

$\displaystyle \frac{1}{x} > 4  \Rightarrow  x <   \displaystyle \frac{1}{4}$ (un nombre nécessairement positif devient nul, puis négatif !!)

$\displaystyle \frac{1}{x} < -4  \Rightarrow  x > - \displaystyle \frac{1}{4}$   (un nombre nécessairement négatif devient positif !!)

Alors, promis ?, vous ferez attention à la cohérence de ce que vous écrivez lorsque vous inversez les membres d'une inégalité ?  :-)

Bonne journée, et bonnes écritures correctes !

Mais .. ? C'est juste de dire $x > 4  \Rightarrow  \displaystyle \frac{1}{x} < \displaystyle \frac{1}{4}$ .. Pourquoi tant d'émoi ..

EDIT : Oh, je crois que vous confondez les symboles $\Rightarrow$ et $\Leftrightarrow$ ..

Dernière modification par Tripolis (24-01-2024 14:07:43)

Borassus

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Re : Erreurs sur la fonction inverse menant souvent à des INCOHÉRENCES !

Bonjour Tripolis

Mais .. ? C'est juste de dire $x > 4  \Rightarrow  \displaystyle \frac{1}{x} < \displaystyle \frac{1}{4}$

Non, justement !!  Que signifie $\displaystyle \frac{1}{x} < \displaystyle \frac{1}{4}$ ?

Oh, je crois que vous confondez les symboles ⇒ et ⇔

Dans la mesure où l'implication "de gauche à droite" est fausse, l'implication "de droite à gauche" n'a de facto pas lieu d'être. Il n'y a donc pas équivalence !

PS : Il est inutile de citer la totalité d'un message !..

Tripolis

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Re : Erreurs sur la fonction inverse menant souvent à des INCOHÉRENCES !

$\displaystyle \frac{1}{x} < \displaystyle \frac{1}{4}$  signifie $\frac{1}{x} \in ]-\infty,\frac{1}{4}[$, ce qui est vrai si $x>4$.

Damien.Gomes

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Re : Erreurs sur la fonction inverse menant souvent à des INCOHÉRENCES !

L'écriture correcte est donc $x > 4 \Rightarrow  \color{red}{0} < \displaystyle \frac{1}{x} < \displaystyle \frac{1}{4}$.

Bonjour,

Je suis d'accord que l'inégalité 1/x < 1/4 n'est pas la plus précise au sens d'un ensemble de valeurs prises par 1/x mais elle n'est pas fausse à mon sens.

En effet la condition 0 < 1/x < 1/4 est incluse dans 1/x < 1/4.

Je ne vois donc pas pourquoi en terme de logique l'implication x > 4 => 1/x < 1/4 serait fausse.

Dernière modification par Damien.Gomes (24-01-2024 15:53:32)

DeGeer

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Re : Erreurs sur la fonction inverse menant souvent à des INCOHÉRENCES !

Bonjour
Je crois que la confusion résulte surtout d'une écriture ambiguë, puisque l'énoncé de départ devrait être quantifié, c'est-à-dire $\forall x, x>4 \Rightarrow \frac{1}{x} < \frac{1}{4}$. Malheureusement, il me semble que les quantificateurs ne sont pas au programme du lycée.

Dernière modification par DeGeer (24-01-2024 16:58:11)

Bernard-maths

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Re : Erreurs sur la fonction inverse menant souvent à des INCOHÉRENCES !

Bonsoir !

Mon grain de sel :

x > 4 sous entend x > 0 puisque x > 4 > 0 par transitivité de > !

Par contre $\dfrac 1  x < \dfrac 1 4$ ne dit rien sur le signe de x, mais implique x ≠ 0 ...

Les règles opératoires sur les nombres positifs disent que : x > 4 => $\dfrac 1  x < \dfrac 1 4$.

MAIS l'implication réciproque est fausse !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (24-01-2024 17:39:00)

Borassus

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Re : Erreurs sur la fonction inverse menant souvent à des INCOHÉRENCES !

Bonsoir,

J'aurais dû inverser l'énoncé de la discussion en partant de $\dfrac 1 x > \dfrac 1 4 \Rightarrow x < 4$  !

Ce sur quoi je voulais porter l'attention, c'est que ce genre d'erreur dans le cadre d'un exercice complet — par exemple, une étude de fonction — peut mener à des incohérences dont on peut ne pas se rendre compte, ou dont on se rend compte a posteriori en constatant, par exemple, que le tracé de la courbe sur GeoGebra ou sur calculatrice contredit fortement le tableau de variation obtenu.

De plus, en contrôle ou en examen, ce type d'erreur, dans lequel on fait implicitement franchir à la variable ou à son inverse une barrière infranchissable, coûte souvent des points.

Dernière modification par Borassus (24-01-2024 20:13:12)

Bernard-maths

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Re : Erreurs sur la fonction inverse menant souvent à des INCOHÉRENCES !

Bonjour !

Maintenant j'écrirai donc :

$\dfrac 1  x > \dfrac 1 4$, donc > 0 $\Longleftrightarrow $ 0< x < 4

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (25-01-2024 11:26:39)

Borassus

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Re : Erreurs sur la fonction inverse menant souvent à des INCOHÉRENCES !

Voilà !

Donc limiter explicitement par [tex]0[/tex] dans les cas où l'écriture peut signifier implicitement que la variable ou son inverse franchit cette valeur.

D'autant plus que, sur une copie de contrôle, l'écriture $\dfrac{1}{x} > \dfrac{1}{4} \Rightarrow  x < 4$ est systématiquement barrée par le ou la prof, et la question coûte le plus souvent un zéro !

Dernière modification par Borassus (25-01-2024 12:40:56)

Tripolis

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Re : Erreurs sur la fonction inverse menant souvent à des INCOHÉRENCES !

D'autant plus que, sur une copie de contrôle, l'écriture $\dfrac{1}{x} > \dfrac{1}{4} \Rightarrow  x < 4$ est systématiquement barrée par le ou la prof, et la question coûte le plus souvent un zéro !

Désolé mais cette implication  $\dfrac{1}{x} > \dfrac{1}{4} \Rightarrow  x < 4$ est encore vraie. Pas de chance ! Les profs en question ont l'air assez difficiles. En fait, c'est la contraposée de l'implication dont on discutait précédemment, et pas sa réciproque.

Glozi

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Re : Erreurs sur la fonction inverse menant souvent à des INCOHÉRENCES !

Bonjour,

D'autant plus que, sur une copie de contrôle, l'écriture $\dfrac{1}{x} > \dfrac{1}{4} \Rightarrow  x < 4$ est systématiquement barrée par le ou la prof, et la question coûte le plus souvent un zéro !

C'est bien dommage de barrer quelque chose de juste...Si on attend comme réponse l'encadrement optimal alors je pense qu'il faut le préciser dans la consigne (sinon moi j'écrirais $\frac{1}{x}>\frac{1}{4} \Rightarrow -42 < x < 58$, c'est pas faux non plus :p)
Aussi l'expression "faire franchir à $x$ une barrière infranchissable" n'est pas vraiment précise je trouve...
Sinon je rejoins Tripolis quand il dit que tu confonds peut-être $\Rightarrow$ et $\Leftrightarrow$ (en fait je pense que tu confonds surtout $\Rightarrow$ et $\Leftarrow$).
Enfin, les trois dernières implications de ton premier post que tu dis fausses sont en fait justes...(si tu ne me crois pas, essaye de trouver un contre exemple !) En revanche les réciproques de chacune de ces implications sont fausses ! (rappel : la réciproque d'une proposition "$P\Rightarrow Q$" est la proposition "$Q\Rightarrow P$").
Je suis curieux de voir une de tes rédactions avec la fonction inverse qui mène à une INCOHÉRENCE.

Borassus

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Re : Erreurs sur la fonction inverse menant souvent à des INCOHÉRENCES !

Bon !
Excusez s'il vous plaît la vivacité de ma réponse, mais je n'adhère absolument pas à ce genre d'arguties qui dépassent de très loin mon très humble niveau de prof de maths autodidacte à domicile — cela fait douze ans que j'exerce avec bonheur ce métier à plein temps, avec un total d'heures qui doit avoisiner les 10 000, et une satisfaction tangible tant de la part des familles, qui me renouvèlent leur confiance d'année en année, que des élèves —, et qui fondamentalement ne m'intéressent pas !

Ce que je vois concrètement, ce sont des élèves qui se reçoivent un 0 — ou, si le ou la prof n'est pas trop sévère, une division de la note par deux — sur des exercices de type « Résoudre l'inéquation 1 / x supérieur à une valeur positive » ou « Résoudre l'inéquation 1 / x inférieur à une valeur négative » — qui génèrent donc les implications dont il est question —, ou qui faussent complètement une étude de fonction (et comme ils ne pensent pas à vérifier sur leur calculatrice la cohérence entre leur étude et la courbe affichée, ils ne s'en aperçoivent pas).

Comme je l'indiquais dans mon post d'ouverture, je fais moi-même facilement l'erreur si je n'y prends pas garde, mais m'en aperçois par un signal d'alerte intervenant suffisamment rapidement.

Je vois aussi des auteurs d'ouvrages prendre la précaution de limiter à gauche ou à droite par 0 une inégalité issue d'une inversion.

Je trouve donc que c'est faire une montagne d'une souris qui consiste simplement à prendre la précaution — qui ne coûte pas cher ! — de limiter l'inégalité déduite d'une inversion par $0$ lorsque celle-ci présente une ambiguïté.

Et j'invite les élèves de lycée qui suivent cette discussion à renvoyer leur prof à celle-ci s'ils se prennent sur leur copie un trait péremptoire en rouge barrant leur résolution.

Dernière modification par Borassus (25-01-2024 16:06:38)

Glozi

Invité

Re : Erreurs sur la fonction inverse menant souvent à des INCOHÉRENCES !

Si la question est de résoudre $1/x>4$ je suis d'accord que la seule réponse est bien $0<x<4$.
Pédagogiquement, je suis aussi d'accord pour dire qu'il faut avoir en tête le signe de $x$ pour ne pas se tromper.
Mathématiquement, je ne suis toujours pas d'accord pour dire "l'implication $\frac{1}{x}> \frac{1}{4} \Rightarrow x<4$" est fausse. Non ! Quelque soit $x\in \mathbb{R}^*$, cette implication est vraie, et il est important je pense de faire comprendre la différence entre une condition nécessaire et une condition suffisante ! Les discours politiques ne se font pas par équivalence et donc il est bon de savoir qu'est ce qui implique quoi dans leurs raisonnements ! (ne pas tomber dans les sophismes, savoir ce qu'est la réciproque et la contraposée etc...)

Borassus

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Re : Erreurs sur la fonction inverse menant souvent à des INCOHÉRENCES !

On va peut-être réussir à se mettre d'accord :

L'objet de ma discussion n'était absolument pas de m'interroger sur le bien-fondé en logique formelle de telle ou telle assertion, et je ne me rendais absolument pas compte en la rédigeant que j'allais provoquer un débat aussi "savant".

Je voulais simplement prévenir les élèves lycéens qu'une résolution de type $\dfrac 1 x > \dfrac 1 4 \Rightarrow x < 4$ est fausse !!  (La résolution, pas l'implication !!)

Quant aux équivalences, je ne comprends absolument pas cette "équivalentite aiguë" qui consiste à écrire dans le développement d'un calcul une succession d'équivalences se terminant, par exemple, par
$3x = 9 \Longleftrightarrow x = 3$
car il ne me semble pas que $x = 3$ entraîne de facto, et de façon unique, $3x = 9$ .

Dernière modification par Borassus (25-01-2024 16:55:34)

Borassus

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Re : Erreurs sur la fonction inverse menant souvent à des INCOHÉRENCES !

Comme tenu de ces échanges, voici le texte d'ouverture de la discussion revu et corrigé. (Je n'ai pas voulu corriger directement le texte d'origine pour ne fausser le débat.)

Bonjour,

Il y a des déductions génératrices d'erreurs hyper classiques, que chacun peut très facilement commettre s'il n'y prend pas garde (en tant qu'élève, mais aussi, soyons honnêtes, en tant que prof ; je l'ai faite par inadvertance tout récemment avant de me rendre compte que j'aboutissais à une incohérence sur un tableau de variation) :

Par exemple, déduire sans précaution de  $x > 4$ que $\dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{4}$ peut être source d'erreur (résolution d'inéquation fausse, tableau de variation complètement faussé...)

Que signifie en effet $\displaystyle \frac{1}{x} < \displaystyle \frac{1}{4}$ ?

Cette inégalité désigne l'ensemble des réels inférieurs à $\displaystyle \frac{1}{4}$], y compris 0 et les nombres négatifs.
Or $x > 4$ signifie tout naturellement que $x$ est strictement positif. Son inverse ne peut donc être négatif !

L'écriture sans risque est donc $x > 4 \Rightarrow  \color{red}{0} < \displaystyle \frac{1}{x} < \displaystyle \frac{1}{4}$.

Faire tout aussi attention aux déductions génératrices d'erreurs suivantes :

$x < -4  \Rightarrow  \displaystyle \frac{1}{x} > - \displaystyle \frac{1}{4}$

$\displaystyle \frac{1}{x} > 4  \Rightarrow  x <   \displaystyle \frac{1}{4}$

$\displaystyle \frac{1}{x} < -4  \Rightarrow  x > - \displaystyle \frac{1}{4}$

Donc, attention à la cohérence de ce que vous écrivez lorsque vous inversez les membres d'une inégalité !  :-)

Glozi

Invité

Re : Erreurs sur la fonction inverse menant souvent à des INCOHÉRENCES !

Ce débat n'est pas vraiment "savant", il ne s'agit pas de logique formelle et je pense d'ailleurs qu'un vrai logicien nous engueulerait toi comme moi.

Un problème c'est que tu sembles utiliser $\Rightarrow$ pour dire "on résout l'inéquation". C'est problématique, car la résolution d'une équation (ou inéquation) est un processus qui repose sur une équivalence. En effet, tu dis surement à tes élèves de noter à la fin $S$ l'ensemble des solutions. Autrement dit $S=\{x\in \mathbb{R} \text{ tels que l'inéquation est vraie}\}$. Mais donc pour $x\in \mathbb{R}$ on a : $x\in S \Leftrightarrow $ l'inéquation est résolue pour ce $x$. Trouver l'ensemble $S$ revient à trouver non seulement tous les $x$ qui vérifient l'inéquation mais uniquement ceux là !

Mon prof de L1 déconseillait vivement, quand ça prenait plus de deux lignes, de raisonner par équivalence.
En effet, raisonner par équivalence ça peut être très lourd, essentiellement il faut qu'on puisse logiquement déduire ce qui se trouve à droite de ce qui est à gauche et vice versa.

Exemple : $3x = 9 \Leftrightarrow x=3$ est bien une équivalence, on passe de gauche à droite en divisant par $3$ qui est non nul, et on passe de droite à gauche en multipliant par $3$.

Exemple plus subtil
$\frac{1}{x}>\frac{1}{4}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{x}>\frac{1}{4}>0$
$\Leftrightarrow 0<x<4$

Dans la première équivalence, on déduit le bas du haut juste en disant que $1/4>0$ est toujours vrai donc on peut le rajouter dans quel énoncé. On déduit le haut du bas juste en "oubliant" $\frac{1}{4}>0$.
Dans la deuxième équivalence, on déduit le bas du haut avec la décroissance stricte de la fonction inverse sur les réels strictement positifs ET le fait que la fonction inverse est strictement positive sur les réels strictement positifs. On déduit le haut du bas exactement de la même manière (décroissance stricte + positivité).

On pourrait juste écrire
$\frac{1}{x}>\frac{1}{4}$
$\Rightarrow x<4$
En effet, on peut passer du haut à en bas juste en disant que la fonction inverse est strictement décroissante sur les réels strictement positifs).
En revanche, on ne peut pas déduire le haut du bas (réciproque fausse) car on a un contre exemple : par exemple $x=-1$. Ainsi raisonner par implication directe nous donne un ensemble qui contient toutes les solutions, mais rien ne garantit que tous les éléments de cet ensemble sont bien solutions !

L'avantage quand on rédige par implications directes, c'est qu'on a deux fois moins de choses à vérifier, l'inconvénient c'est qu'à la fin on a peut être trouvé des $x$ qui ne sont pas solutions (il faut regarder parmi ces $x$ lesquels sont bien solutions, on appelle cette phase la synthèse alors que la première phase s'appelle l'analyse).

Exemple :
$\frac{x^2-1}{x-1}=0
\Rightarrow x^2-1=0
\Rightarrow x= \pm 1$.
On remarque que $1$ n'est pas solution (valeur interdite) et que $-1$ est solution donc $S=\{-1\}$.

Par équivalence :
$\frac{x^2-1}{x-1}=0
\Leftrightarrow x\neq 1 \text{ et }x^2-1=0
\Leftrightarrow x\neq 1\text{ et }x=\pm 1
\Leftrightarrow x=-1.$
Donc $S=\{-1\}$.

Borassus

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Re : Erreurs sur la fonction inverse menant souvent à des INCOHÉRENCES !

Merci Glozi pour ces explications pédagogiques, et merci d'avoir pris la peine de les rédiger ! (J'aimerais trouver ce genre d'explications sur les notes de cours et les polycopiés de mes élèves....)
Et pardon de n'y avoir pas répondu plus tôt faute de disponibilité.
(Merci aussi à Tripolis, Bernard, DeGeer, Damien.Gomes et Roro.)

Un problème c'est que tu sembles utiliser $\Rightarrow$ pour dire "on résout l'inéquation". C'est problématique, car la résolution d'une équation (ou inéquation) est un processus qui repose sur une équivalence. En effet, tu dis surement à tes élèves de noter à la fin $S$ l'ensemble des solutions. Autrement dit $S=\{x\in \mathbb{R} \text{ tels que l'inéquation est vraie}\}$. Mais donc pour $x\in \mathbb{R}$ on a : $x\in S \Leftrightarrow $ l'inéquation est résolue pour ce $x$. Trouver l'ensemble $S$ revient à trouver non seulement tous les $x$ qui vérifient l'inéquation mais uniquement ceux là !

Compris ! Merci.

Je perçois cependant comme une certaine confusion, qui me déplaît, entre le symbole $\Leftrightarrow$ utilisé en tant que "si, et seulement si", comme c'est le cas dans ce paragraphe, et le même symbole utilisé à tout bout de champ en tant qu'équivalence de calcul. J'y reviendrai dans un instant.

Mon prof de L1 déconseillait vivement, quand ça prenait plus de deux lignes, de raisonner par équivalence.

Tout à fait d'accord ! Je déteste l'obligation faite aux élèves d'aligner toute une série de $\Leftrightarrow$ à chaque étape de calcul. Je préfère la formulation "par équivalences successives".
D'autant plus que, oui, il faut attentivement veiller à ce qu'on « puisse logiquement déduire ce qui se trouve à droite de ce qui est à gauche et vice versa ».
On leur demanderait d'écrire systématiquement #@$% , obligatoirement dans cet ordre, qu'ils comprendraient tout autant la signification réelle du symbole.

Exemple : $3x = 9 \Leftrightarrow x=3$ est bien une équivalence, on passe de gauche à droite en divisant par $3$ qui est non nul, et on passe de droite à gauche en multipliant par $3$.

C'est là où je bloque : $3x = 9$ entraîne $x = 3$ parce qu'on a besoin d'exprimer $x$.
Mais cette égalité entraîne aussi $12x + 1 = 37$ si on a besoin d'exprimer d'exprimer $12x + 1$.

A l'inverse, à partir de $x = 3$ on peut déduire une infinité d'égalités, par exemple $x^3 - 2 = 25$ si on a besoin dans le calcul d'exprimer $x^3 - 2$.

J'ai peut-être mal compris, mais pour moi équivalence signifie qu'une expression entraîne nécessairement l'autre : par exemple, les affirmations

« En géométrie plane, si un triangle est rectangle, le carré de la longueur du plus grand côté — je ne le désigne volontairement pas par "hypoténuse" pour pouvoir utiliser l'affirmation réciproque — est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. »

et

« En géométrie plane, si le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, le triangle est rectangle.»
sont équivalentes, car l'une implique nécessairement l'autre.

(Je précise "En géométrie plane" car je m'amuse à demander à mes élèves d'imaginer un triangle avec trois angles droits. :-)

Exemple plus subtil
$\frac{1}{x}>\frac{1}{4}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{x}>\frac{1}{4}>0$
$\Leftrightarrow 0<x<4$

Dans la première équivalence, on déduit le bas du haut juste en disant que $1/4>0$ est toujours vrai donc on peut le rajouter dans quel énoncé. On déduit le haut du bas juste en "oubliant" $\frac{1}{4}>0$.
Dans la deuxième équivalence, on déduit le bas du haut avec la décroissance stricte de la fonction inverse sur les réels strictement positifs ET le fait que la fonction inverse est strictement positive sur les réels strictement positifs. On déduit le haut du bas exactement de la même manière (décroissance stricte + positivité).

Tout est dans le ET ! C'est précisément ce ET qu'oublient les élèves ! (Et moi-même, si je n'y prends pas garde.)

Ainsi raisonner par implication directe nous donne un ensemble qui contient toutes les solutions, mais rien ne garantit que tous les éléments de cet ensemble sont bien solutions !

Tout à fait ! Bien compris ! Je retiens l'exemple pour l'expliquer.

L'avantage quand on rédige par implications directes, c'est qu'on a deux fois moins de choses à vérifier, l'inconvénient c'est qu'à la fin on a peut être trouvé des $x$ qui ne sont pas solutions (il faut regarder parmi ces $x$ lesquels sont bien solutions, on appelle cette phase la synthèse alors que la première phase s'appelle l'analyse).

Tout à fait ! Bien compris !

Exemple :
$\frac{x^2-1}{x-1}=0
\Rightarrow x^2-1=0
\Rightarrow x= \pm 1$.
On remarque que $1$ n'est pas solution (valeur interdite) et que $-1$ est solution donc $S=\{-1\}$.

Par équivalence :
$\frac{x^2-1}{x-1}=0
\Leftrightarrow x\neq 1 \text{ et }x^2-1=0
\Leftrightarrow x\neq 1\text{ et }x=\pm 1
\Leftrightarrow x=-1.$
Donc $S=\{-1\}$.

Je retiens l'exemple pour l'expliquer.

___________________

En définitive, j'indiquerai systématiquement à mes élèves qu'ils doivent par précaution limiter par $0$ une inégalité relevant d'une inversion, sauf s'il n'y a aucun risque d'ambiguïté.
Et les renverrai à cette discussion.  :-)

Bonne semaine à tous.

Borassus

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Re : Erreurs sur la fonction inverse menant souvent à des INCOHÉRENCES !

L'avantage quand on rédige par implications directes, c'est qu'on a deux fois moins de choses à vérifier, l'inconvénient c'est qu'à la fin on a peut être trouvé des $x$ qui ne sont pas solutions (il faut regarder parmi ces $x$
lesquels sont bien solutions, on appelle cette phase la synthèse alors que la première phase s'appelle l'analyse).

Je préfère très nettement ce mode de raisonnement aux $\Leftrightarrow$ successifs, sans réflexion véritable.

Glozi

Invité

Re : Erreurs sur la fonction inverse menant souvent à des INCOHÉRENCES !

Bonjour,
En fait $\Rightarrow$, $\Leftarrow$ et $\Leftrightarrow$ sont des symboles de logiques qui "opèrent" sur des propositions.
Une proposition $P(x)$ est un énoncé concernant $x$ qui est soit vrai soit faux (ex : $P(x) : x = 3$, $Q(x) : 3x=9$, $R(x) :12x+1=37$).
Dire qu'on a l'implication $P(x)\Rightarrow Q(x)$ (sous entendu pour tout $x$ réel) signifie que si $P(x)$ est vraie pour un réel $x$ alors $Q(x)$ est aussi vraie pour ce même réel $x$, ni plus ni moins.

Par exemple, on a l'implication $x=3 \Rightarrow 3x=9$ car si $x=3$ est vrai alors en multipliant par $3$ on a aussi $3x=9$ est vrai
Par exemple, on a l'implication $1/x>4 \Rightarrow x<1/4$ car si un réel $x$ vérifie $1/x>4$ alors $x>0$ et $1/x>4$ donc $0<x<1/4$ dont $x<1/4$ est vrai.

On écrit $P(x)\Leftrightarrow Q(x)$ si les deux implications $P(x)\Rightarrow Q(x)$ et $Q(x)\Rightarrow P(x)$ sont vraies.
Dans ton cas on a bien $x=3 \Leftrightarrow 3x=9 \Leftrightarrow 12x+1=37$. Ces trois propriétés sont équivalentes (si n'importe laquelle des trois est vraie alors n'importe laquelle des deux autres est aussi vraie). Rien ne dit qu'une proposition ne peut être équivalente qu'à une seule autre (ce n'est bien sûr pas le cas !)

Pour tes triangles, je pense que tu as mal formulé qu'est ce qui est équivalent à quoi. Ce n'est pas une implication qui est équivalente à une autre${}^*$. Mais une proposition qui est équivalente à une autre. Il faudrait plutôt poser pour $T$ un triangle
$P(T)$ : le triangle $T$ est rectangle
$Q(T)$ : le carré de la longueur du plus grand côté de $T$ est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Et dire qu'en géométrie plane on a $P(T)\Leftrightarrow Q(T)$ (le théorème de Pythagore (une des implications) et sa réciproque (l'autre implication)).

Résoudre une équation (ou inéquation) revient à partir d'un énoncé portant sur $x$ (ex : $P(x) : x^2=1$ ou $P(x) : 1/x>4$) et d'arriver à un énoncé de la forme $Q(x) : x\in S$ où $S$ est un ensemble (appelé ensemble des solutions) qui doit être décrit le plus précisément possible (par exemple $S=\{-1,1\}$ ou $S=]0,1/4[$.)

À la fin des fins on doit avoir un raisonnement qui ressemble à ça : $P(x) \Leftrightarrow \dots \Leftrightarrow \dots \Leftrightarrow Q(x)$. C'est pourquoi on voit des lignes de raisonnements par équivalences... (mais évidemment on peut procéder par implications $\Rightarrow$ si à la fin on se souvient qu'il faut vérifier parmi nos candidats lesquels sont des vraies solutions).

Pour moi la moralité c'est de ne surtout pas utiliser les symboles logiques $\Rightarrow$, $\Leftrightarrow$ pour autre chose que ce pourquoi ils ont été conçus (en particulier de part et d'autre de ces symboles doivent se trouver des propositions et on doit justifier du lien logique qui permet d'écrire l'implication ou l'équivalence). Je vois des tas d'élèves qui font des flèches partout et ça ne rime plus à rien. De mon point de vue, il vaut mieux parler en français et éviter d'utiliser ces symboles sauf si on est sûr de ce qu'on fait.

En tout cas je pense que c'est une bonne idée d'allumer les warnings quand on passe à l'inverse, ça ne peut pas faire de mal !

PS : tu peux regarder http://christophebertault.fr/cours-et-exercices/ son "petit manuel des bonnes rédactions" et son "raisonner, rédiger" peuvent éventuellement t'intéresser.

Bonne journée

${}^*$ en fait les implications sont aussi des propositions et donc on pourrait écrire $(A(x)\Rightarrow B(x))\Leftrightarrow (C(x)\Rightarrow D(x))$ mais ce n'est pas vraiment ce qui nous intéresse ici je pense.

Borassus

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Re : Erreurs sur la fonction inverse menant souvent à des INCOHÉRENCES !

Merci grandement de ces explications qui me permettent de mieux asseoir ma propre compréhension. (Et donc ma capacité à expliquer ! On ne comprend réellement quelque chose que si on sait l'expliquer !)

Le problème de fond est que ces raisonnements sont véritablement plus ou moins expliqués en Terminale, non pas en option Maths, mais en Maths expertes. Et je sais par expérience qu'ils déroutent la minorité d'élèves qui maintenant suit cette "filière".

Donc, oui, on peut voir « des tas d'élèves qui font des flèches partout » sans comprendre !

en fait les implications sont aussi des propositions et donc on pourrait écrire $(A(x)\Rightarrow B(x))\Leftrightarrow (C(x)\Rightarrow D(x))$ mais ce n'est pas vraiment ce qui nous intéresse ici je pense.

Cette équivalence ouvre en effet de belles perspectives de raisonnement.

De mon point de vue, il vaut mieux parler en français et éviter d'utiliser ces symboles sauf si on est sûr de ce qu'on fait.

Ô combien !! Je dis très souvent à mes élèves « La matière la plus importante en maths est le français, et francise, et surtout leur demande de franciser dans une langue simple, accessible à une "Madame Michu", les formules dont on les gave ad nauseam.

Merci pour le lien. Je m'y plongerai.

PS : Dans la mesure où le sujet peut intéresser pas mal de lycéens, je vais prolonger explicitement cette discussion en en créant une autre intitulée « Quelles différences entre démontrer, montrer, vérifier ? »
A tout à l'heure, donc, dans cette discussion.

Dernière modification par Borassus (29-01-2024 14:56:48)