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- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 22-01-2024 16:10:18
- Borassus
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Produit de six cosinus (x/2^n) à simplifier, n allant de 0 à 5
Bonjour,
Je bute sur l'exercice de trigo suivant :
Simplifier $f(x) = \cos(x)\cos(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{4})\cos(\frac{x}{8})\cos(\frac{x}{16})\cos(\frac{x}{32})$
La solution doit être (toute) simple car il s'agit d'un exercice donné en bonus d'un DS de Première.
Mais je ne la perçois pas !
(Utiliser la formule $cosacosb = \frac{\cos(a+b) + \cos(a-b)}{2}$ me semble impossible.)
Merci d'avance de vos coups de pouce !
Dernière modification par Borassus (22-01-2024 16:57:28)
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#3 22-01-2024 16:39:27
- Borassus
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Re : Produit de six cosinus (x/2^n) à simplifier, n allant de 0 à 5
Et donc $\cos(a) = \frac{\sin(2a)}{2\sin a}$
Les sinus se simplifient, et on aboutit à $f(x) = \frac{\sin(2x)}{64\sin(\frac{x}{32})}$
L'astuce est belle, effectivement ! (Je pressens que je vais la transmettre avec délectation. :-)
Merciii Fred !!
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#4 22-01-2024 17:06:12
- Borassus
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Re : Produit de six cosinus (x/2^n) à simplifier, n allant de 0 à 5
On peut généraliser pour un nombre quelconque de cosinus :
$\prod_{k=0}^{k=n} \cos(\frac{x}{2^k}) = \frac{\sin(2x)}{2^{n+1}\sin(\frac{x}{2^n})}$
Dernière modification par Borassus (23-01-2024 11:34:42)
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#5 22-01-2024 17:11:57
- Borassus
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Re : Produit de six cosinus (x/2^n) à simplifier, n allant de 0 à 5
Comment, par contre, traiter un produit de type
$\sin x \sin(\frac{x}{2}) \sin(\frac{x}{4}) \sin(\frac{x}{8}) ... \sin(\frac{x}{2^n})$ ?
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#6 23-01-2024 12:10:29
- Borassus
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Re : Produit de six cosinus (x/2^n) à simplifier, n allant de 0 à 5
On peut généraliser pour un nombre quelconque de cosinus :
$\prod_{k=0}^{n} \cos(\frac{x}{2^k}) = \frac{\sin(2x)}{2^{n+1}\sin(\frac{x}{2^n})}$
Exemple (un peu délirant :-)
$\cos x \cos(\frac{x}{2}) \cos(\frac{x}{4}) \cos(\frac{x}{8}) ... \cos(\frac{x}{512}) = \frac{\sin(2x)}{1024 \sin(\frac{x}{512})}$
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