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Hibou11

Invité

Morphisme d'évaluation.

Bonsoir,

Soit [tex]f \ : \ \mathbb{R} [X] \to \mathbb{C}[/tex] le morphisme de d'évaluation défini par : [tex]f(P) = P(i)[/tex].
[tex]f[/tex] est un morphisme d'anneaux.
Je voudrais montrer que [tex]\ker \ f = (X^2 + 1)[/tex].
J'ai déjà fait cet exercice avant, mais j'ai oublié complètement la méthode à suivre.

Merci de votre aide.

Glozi

Invité

Re : Morphisme d'évaluation.

Bonjour,
Le concept clef : la division euclidienne.
Bonne journée

Hibou11

Invité

Re : Morphisme d'évaluation.

Bonsoir,

Merci Glozi.
Montrons l'inclusion, [tex]\ker \ f \subset (X^2 + 1 )[/tex],
Soit [tex]P \in \ker f[/tex],
Alors, [tex]P(i) = 0[/tex].
D'où, [tex] i [/tex] est une racine de [tex]P[/tex]. C'est à dire, [tex] (X-i) | P [/tex].
Il me faut montrer que, [tex] - i [/tex] est aussi racine de [tex]P[/tex] pour en déduire que, [tex]X^2 + 1[/tex] divise [tex]P[/tex].
Pourquoi, [tex] -i [/tex] est racine de [tex]P[/tex] ?

Merci d'avance.

DeGeer

Membre

Inscription : 28-09-2023

Messages : 222

Re : Morphisme d'évaluation.

Bonsoir. Il faudrait plutôt effectuer la division euclidienne de $P$ par $X^2+1$. Par ailleurs, il faut garder à l'esprit qu'on travaille dans $\mathbb{R}[X]$ et pas $\mathbb{C}[X]$ donc la relation de divisibilité que tu as écrite est problématique.

Dernière modification par DeGeer (20-01-2024 22:04:37)

Glozi

Invité

Re : Morphisme d'évaluation.

Tu ne veux pas utiliser l'indication ?
Si tu veux continuer sur ta méthode, tu peux montrer que puisque $P$ est à coefficients réels, alors pour $z\in \mathbb{C},$ $\overline{P(z)}=P(\overline{z})$. Ensuite tu auras $X-i$ et $X+i$ divisent $P$ (dans $\mathbb{C}[X]$) donc (puisque qu'ils sont premiers entre eux dans $\mathbb{C}[X]$) on aura $X^2+1 = (X-i)(X+i)$ divise $P$ (mais toujours dans $\mathbb{C}[X]$), il faudra ensuite argumenter qu'en fait cette divisibilité est aussi dans $\mathbb{R}[X]$.

Mais sinon, plus simple je pense, regarder simplement la division euclidienne (dans $\mathbb{R}[X]$) de $P$ par $X^2+1$.

Hibou11

Invité

Re : Morphisme d'évaluation.

Bonsoir,

Merci Glozi et DeGeer pour vos réponses.
D'accord. On utilise alors la division euclidienne de [tex]P[/tex] par [tex]X^2 + 1[/tex].
On trouve, [tex]P = (X^2 + 1) Q + (aX+b)[/tex], avec, [tex]Q \in \mathbb{R} [X][/tex], et [tex]a,b \in \mathbb{R}[/tex].
Pourquoi alors, [tex]a=b=0[/tex] ?.

Merci d'avance

Glozi

Invité

Re : Morphisme d'évaluation.

Tu n'as pas encore utilisé toutes les hypothèses sur $P$.

Hibou11

Invité

Re : Morphisme d'évaluation.

La seule hypothèse qu'on a, est que, [tex]P(i) = 0[/tex].
Cela implique que, [tex]a i + b = 0[/tex].
Puisque, [tex]a,b \in \mathbb{R}[/tex], alors, [tex]a = b = 0[/tex].  :-)
D'où, [tex]P = (X^2 + 1 ) Q[/tex], et donc, [tex]P \in (X^2+1)[/tex].
Par conséquent, [tex]\ker \ f \subset (X^2 + 1)[/tex].
Merci Glozi.

Comment maintenant montrer l'inclusion inverse, [tex]\ker \ f \supset (X^2 + 1 )[/tex] ?

Merci d'avance.

Hibou11

Invité

Re : Morphisme d'évaluation.

On a, [tex]X^2 + 1 \in \ker \ f[/tex], et donc, [tex]\ker \ f[/tex] est un idéal de [tex]\mathbb{R} [X][/tex] contenant [tex]X^2 + 1[/tex].
Puisque, [tex](X^2 + 1 )[/tex] est le plus petit idéal contenant [tex]X^2 +1[/tex], on conclut que, [tex]\ker \ f \supset (X^2 + 1 )[/tex].
CQFD.