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wadhar273

Invité

Espérance de |X - Y|

Bonsoir,
Voici l’énoncé d’un exercice :

Soient X, Y deux variables aléatoires réelles indépendantes. On a de plus E(Y) = 0.
Montrer que : E(|X - Y|) >= E(|X|)

La correction pose l’application suivante :
Phi(x) = E(|x - Y|) , pour x réel.
Puis montre (inégalité de Jensen) que :
Phi(x) >= |x|
Par suite, l’indépendance de X et Y est invoquée pour justifier que :
E(|X - Y|) = E(Phi(X))
Le résultat à prouver s’en suit immédiatement.

Je ne comprends absolument pas comment est prouvée cette dernière égalité.
Comment la démonter, et où l’indépendance intervient-elle ?

Merci d’avance.

wadhar273

Invité

Re : Espérance de |X - Y|

Le fait que le résultat s’en suive m’échappe également. L’inégalité sur phi a été prouvée pour x réel, pas pour une variable aléatoire.

Glozi

Invité

Re : Espérance de |X - Y|

Bonsoir,
Tu peux essayer d'écrire la définition de $\mathbb{E}[\Phi(X)]$ et de $\mathbb{E}[|X-Y|]$ en revenant à la définition de l'espérance en tant que somme (ou intégrale), en particulier pour développer $\mathbb{E}[|X-Y|]$ tu vas utiliser l'indépendance de $X$ et $Y$, tu devrais constater que tes deux développements sont les mêmes.

Pour ta deuxième question, tu sais que pour tout $x$ réel, $\Phi(x)\geq |x|$, mais alors pour tout $\omega$ dans ton espace de probabilité (ou univers) tu as $X(\omega)$ est un réel, et donc $\Phi(X(\omega))\geq |X(\omega)|$ (qu'on réécrit plus simplement $\Phi(X)\geq |X|$). Or, tu dois savoir que si tu as deux variables aléatoires réelles $X_1$ et $X_2$ positives telles que $X_1\geq X_2$ alors $\mathbb{E}[X_1]\geq \mathbb{E}[X_2]$ (croissance de l'espérance).
Bonne soirée

Mitain

Membre

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Messages : 2

Re : Espérance de |X - Y|

Bonjour,
En fait, si tu connais l'espérance conditionnelle, on a $\phi(X) = \mathbb{E}[|X-Y| \mid X]$ de sorte que $\mathbb{E}[\phi(X)] = \mathbb{E}[|X-Y|]$. De manière générale, si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $\mathbb{E}[f(X,Y) \mid X] = \psi(X)$ où $\psi(x) = \mathbb{E}[f(x,Y)]$. C'est une évidence mais ça t'aidera peut-être à y voir clair.