Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Borassus

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Suite alternativement croissante et constante

Bonjour,

Une suite croissante est (généralement) définie par [tex]u_{n+1} \ge u_n[/tex]
Idem pour une suite décroissante, avec [tex]\le[/tex].

J'explique que l'égalité correspond à des paliers : un escalier peut être globalement montant ou descendant mais peut présenter des paliers correspondant à des "marches horizontales".

Or, je ne me souviens pas de suites croissantes présentant des paliers.
En avez-vous dans vos catalogues ?

J'aimerais aussi connaître une technique pour en créer (de préférence à l'aide d'une formule générique) :
Par exemple, une succession de quatre termes croissants, puis une succession de trois termes égaux au quatrième, puis de nouveau une succession croissante de quatre termes, ainsi de suite.
Voire, des longueurs de palier elles-mêmes croissantes.

Merci d'avance de vos mises sur la voie.

Dernière modification par Borassus (15-01-2024 08:38:44)

Roro

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Re : Suite alternativement croissante et constante

Bonjour,

En utilisant la fonction "partie entière" (je note $E(x)$ la partie entière d'un réel $x$), il sera assez facile de créer de telles suites.
Par exemple la suite $(u_n)$ définie par $u_n=E(\lambda n)$ avec $\lambda=\frac{1}{2}$, $\lambda=\frac{1}{3}$...
On peut créer un peu tout ce qu'on veut mais c'est parfois pas très sympa à écrire !

Roro.

Edit : ajout de $E$ pour définir $u_n$ comme l'avait deviné Borassus

Dernière modification par Roro (12-01-2024 13:13:30)

Borassus

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Re : Suite alternativement croissante et constante

Bonjour Roro,

Merci de cette première indication. (Je comprends [tex]u_n = E(\lambda n)[/tex] :-)

Je n'ai cependant pas précisé que je souhaite créer des suites récurrentes présentant des paliers.

Bonne journée

Borassus

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Re : Suite alternativement croissante et constante

C'est néanmoins une structure de suite facile que je montrerai en exemple.

Comment maintenant définir une suite présentant et des successions croissantes (décroissantes), et des paliers ?

Bernard-maths

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Re : Suite alternativement croissante et constante

Bonjour à tous !

Grillé par Roro ?

Tiens voilà un exemple de ce qu'il dit :

https://www.cjoint.com/doc/24_01/NAmklr … -01-12.ggb

Evidemment tu peux prendre "n'importe" quelle fonction g ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (12-01-2024 11:21:07)

Borassus

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Re : Suite alternativement croissante et constante

Merci Bernard !

Joli !
Effectivement on peut créer pas mal de suites à paliers en utilisant la fonction partie entière.

Y a-t-il d'autres fonctions permettant des paliers ?

Quid cependant de suites récurrentes ?

bridgslam

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Re : Suite alternativement croissante et constante

Bonjour,

Cela peut faire l'objet de bonnes questions.
La suite à paliers suivante met en valeur l'écart entre simplicité, et difficulté: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, ....

Je vous laisse deviner la question... :-)

D'autres exemples : le nombre de chiffres pour écrire (disons en base dix) les entiers naturels... etc

A.

Borassus

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Re : Suite alternativement croissante et constante

La suite à paliers suivante met en valeur l'écart entre simplicité, et difficulté: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, ....
Je vous laisse deviner la question... :-)

Oh, quelle jolie suite, simple à formuler dans sa succession — après d'intenses réflexions, je pense pouvoir prédire que la succession suivante est 5, 5, 5, 5, 5 :-) — mais sans doute pas évidente à formuler dans sa logique. Pour l'instant, je ne sais pas !

Borassus

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Re : Suite alternativement croissante et constante

"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

Notre lycée avait une fois invité Pierre Dac. Un petit c.. lui avait demandé s'il n'était pas gêné par ses initiales.

Borassus

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Re : Suite alternativement croissante et constante

La suite à paliers suivante met en valeur l'écart entre simplicité, et difficulté: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, ....

Je vous laisse deviner la question... :-)

Je pressens une utilisation de l'arithmétique modulaire, mais pour l'instant, je tâtonne.

bridgslam

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Re : Suite alternativement croissante et constante

Bonjour,

Il fait partie (dans ma mémoire) des exercices marquants.
Donner l'expression au rang n ou question voisine.
Il était faisable en étant guidé sauf erreur, genre niveau taupe.
J'essaierai de le retrouver dans mes archives.

Bonne journée

A.

LionAuthentique2303

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Re : Suite alternativement croissante et constante

Tu peux toujours définir une suite à l'aide de fonctions indicatrices, par exemple :

$\forall n \in \mathbb{N}: u_n = (3n+1)\ \mathbb{I}_{n<=10} + 50\ \mathbb{I}_{10<n<=20} + n^2\ \mathbb{I}_{20<n}$

Et là, the sky is the limit... Mais, ça reste lourd à écrire.

Borassus

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Re : Suite alternativement croissante et constante

Bonjour LionAuthentique,

Merci de ta réponse.

Justement, je me disais que les suites jusqu'ici proposées n'évoluent que par paliers.
Ce que j'aimerais, c'est trouver une suite qui, par sa définition, présente une alternance entre termes croissants et termes constants.

Dernière modification par Borassus (14-01-2024 18:49:40)

bridgslam

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Re : Suite alternativement croissante et constante

Bonjour,

Une suite indexée par p de suites, qui correspondent  peut-être plus à ce que vous cherchez:
$ n\mathbb{I}_{E(n/p) \in 2\mathbb{N}} + pE(n/p)\mathbb{I}_{ E(n/p) \notin 2\mathbb{N}}$

Pour p = 2 cela donne la suite 0,1,2,2,4,5,6,6,...

Pour p = 3     0,1,2,3,3,3,6,7,8,9,9,9

etc

On reste dans un registre arithmétique mais c'est déjà ça.

A.

Borassus

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Re : Suite alternativement croissante et constante

En lisant la proposition de suite de bridgslam — merci A. c'est précisément le type de suite que je veux pouvoir montrer ! —, je me suis rendu compte que je n'avais pas véritablement compris la notation utilisée par LionAuthentique.

Donc, comment lire les notations de vos deux suites ?
Que signifie ce I double ? indice ? Comment l'obtenir dans l'éditeur LaTeX ?

Dernière modification par Borassus (14-01-2024 18:51:12)

bridgslam

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Re : Suite alternativement croissante et constante

Bonsoir,

C'est la fonction égale à 1 sur la partie mise en indice, 0 ailleurs. Normalement il faudrait faire un 1 spécial, en latex je ne sais pas faire (d'où le I à la place, mais ça tombe plutôt bien.
Elle joue beaucoup en théorie de l'intégrale de lebesgue ( les fonctions simples  sont les combinaisons linéaires d'indicatrices mesurables).
Elle sert aussi à définir les mesures  à densité.

Alain

Borassus

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Re : Suite alternativement croissante et constante

Merci Alain de cette explication ! (Comme j'avais principalement vu vos messages signés A. et une fois Alain, j'ai préféré, dans le doute, écrire "merci, A." :-)

La logique sur laquelle je ferai plancher certains élèves (que je sentirai capables d'encaisser le coup) sera donc
$u_n = n \times k + p \times E(n/p) \times k'$
avec $k$ est égal à 1 si la partie entière de $\frac{n}{p}$ est paire, et égal à 0 dans le cas contraire ;
et avec $k'$ est égal à 1 si la partie entière de $\frac{n}{p}$ est impaire, et égal à 0 dans le cas contraire.

Je demanderai d'étudier d'abord le cas où $p=1$ : ce cas présente-t-il un intérêt ?
Puis pour $p = 2$, $p = 3$.

(Je crois que je m'amuserai à programmer cette suite.  :-)

Merci encore.
Boris

PS : Comment est désignée cette fonction ?

Borassus

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Re : Suite alternativement croissante et constante

Tu peux toujours définir une suite à l'aide de fonctions indicatrices, par exemple :

$\forall n \in \mathbb{N}: u_n = (3n+1)\ \mathbb{I}_{n<=10} + 50\ \mathbb{I}_{10<n<=20} + n^2\ \mathbb{I}_{20<n}$

Et là, the sky is the limit... Mais, ça reste lourd à écrire.

J'ai compris cette façon de définir les paliers "à la main". Oui, c'est lourd à écrire, surtout si on veut définir plusieurs paliers.
Merci encore.

Dernière modification par Borassus (14-01-2024 18:01:02)

Borassus

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Re : Suite alternativement croissante et constante

PS : Comment est désignée cette fonction ?

Je n'avais pas enregistré l'indication de LionAuthentique : "fonction indicatrice".
Effectivement j'en connaissais le principe.

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Suite alternativement croissante et constante

Bonjour,

$$\large\begin{aligned} u_0&=0\\ u_{n+1}&=u_n+1+e^{2ni\pi/3} +e^{4ni\pi/3}\end{aligned}$$

Borassus

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Re : Suite alternativement croissante et constante

Bonsoir (ou bonjour) Michel et ceux qui suivent cette discussion.

Whouf, une formulation impressionnante pour une suite par paliers "bégayant" la table de multiplication de 3 !  :-)

0, 0, 0, 3, 3, 3, 6, 6, 6, 9, 9, 9, 12, 12, 12, 15, 15, 15 etc. (calcul sur Excel en comprenant que les parties imaginaires s'annulent).

Merci !

Borassus

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Re : Suite alternativement croissante et constante

Bonjour,

Une suite indexée par p de suites, qui correspondent  peut-être plus à ce que vous cherchez:
$ n\mathbb{I}_{E(n/p) \in 2\mathbb{N}} + pE(n/p)\mathbb{I}_{ E(n/p) \notin 2\mathbb{N}}$

Pour p = 2 cela donne la suite 0,1,2,2,4,5,6,6,...

Pour p = 3     0,1,2,3,3,3,6,7,8,9,9,9

etc

A.

Bonjour,

J'ai programmé les suites sous Excel avec p = 2, p = 3, p = 4 et p = 5.
Voilà ce que cela donne:

Pour p = 2 : 
0,1,2,2,4,5,6,6,8,9,10,10,12,13,14,14,16,17,18,18,20,21,22,22,24,25,26,26,28,29,30,30,32...

pour p =3 :
0,1,2,3,3,3,6,7,8,9,9,9,12,13,14,15,15,15,18,19,20,21,21,21,24,25,26,27,27,27,30...

pour p=4 :
0,1,2,3,4,4,4,4,8,9,10,11,12,12,12,12,16,17,18,19,20,20,20,20,24,25,26,27,28,28,28,28,32...

pour p =5 :
0,1,2,3,4,5,5,5,5,5,10,11,12,13,14,15,15,15,15,15,20,21,22,23,24,25,25,25,25,25,30...

Bonne journée, et bonne et fructueuse semaine

Dernière modification par Borassus (15-01-2024 08:36:57)

bridgslam

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Re : Suite alternativement croissante et constante

Bonjour ,

La racine j ( et puissances) cubique de 1 est sous-jacente à la suite de Michel.
L'incrément pour passer du rang n au suivant est $1+j^r+j^{2r}$
Avec r le reste dans la division de n par 3.
Il vaut 3 si r vaut 0, 0 si r=1 ou 2( immédiat avec les propriétés de j).
Il bouge donc de 3 que tous les 3 fois.

La même suite (récurrente) avec une version soft: $ u_0 = u_1 = u_2 = 0,  u_{n+3} = u_n + 3$.
La pénalité à payer est de fournir 3 valeurs initiales au lieu d'une.
Question subsidiaire: une suite définie par $u_0 = u_1 = u_2 =...= u_{p-1} et u_{n+p} = u_n + p$ peut-elle toujours
s'exprimer avec une récurrence d'ordre 1 ( moyennant des complexes...) ?

Bonne journée

A.

Dernière modification par bridgslam (15-01-2024 11:03:14)