Forum de mathématiques - Bibm@th.net

kruller1

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primitive

Bonjour, j'ai fais une primitive donné par les exo proposé sur bibmath.com. Elle se présente comme ça:

f(x)=(2x+1)²

La réponse donné est 1/6*(2x+1)^3+C, or je trouve 1/3 au lieu de 1/6. J'ai suivi la formule: 1/alpha+1*x^alpha+1+C. J'aimerais savoir où se trouve mon erreur ou alors si c'est une erreur de correction même si j'en doute fortement.

Dernière modification par kruller1 (07-01-2024 02:42:27)

Roro

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Re : primitive

Bonjour,

As-tu essayé de dériver ta fonction solution ? C'est la meilleure chose à faire pour vérifier si une primitive est correcte.

J'ai l'impression que tu as oublié que tu avais ici une fonction composée : ce n'est pas de la forme $x^\alpha$ mais $(2x+1)^\alpha$.

Il ne faut donc pas oublier de dériver $2x+1$ donc de multiplier par $2$ lorsque tu dérives, ou diviser par $2$ lorsque tu cherches une primitive.

Roro.

DrStone

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Re : primitive

Bonjour.

Étant donné que ce n'est pas un exercice de votre professeur, je me permets (ce que je n'aurais, dans le cas contraire, pas fait) de vous donner les étapes de résolutions pour le calcul de la primitive
\[ \int(2x+1)^2dx. \]

1. Première étape : réaliser un changement de variable. Le changement de variable le plus évident ici est \(y=2x+1\), ce qui te donne aussi, par voie de conséquence, \(dy=2dx\).

2. Deuxième étape : réécrire notre primitive avec le changement de variable. Ici, notre primitive s'écrit à présent \[\frac{1}{2} \int y^2dy\] (pourquoi \(\frac{1}{2}\) au début ? Car \(dy=2dx\)).

3. Troisième étape : trouver une primitive usuelle. Tu sais que la primitive de \(y^2\) est \(\frac{y^3}{3}+C\) où \(C\) est une constance réelle.

4. Quatrième étape : reporter notre changement de variable et calculer la primitive. Si on reporte notre changement de variable, la primitive est alors \[ \int(2x+1)^2dx=\frac{1}{6} (2x+1)^3 + C \] avec \(C\) réelle.

Dernière modification par DrStone (07-01-2024 13:18:28)

yoshi

Modo Ferox

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Re : primitive

Bonsoir,

Bel effort didactique (changement de variable) qui lui servira le moment venu !

Je vais en proposer une version à l'ancienne (on a surement au moins une génération d'écart)...
Je note $U =2x+1$, et donc $U^2=(2x+1)^2$.
$U^2$ étant du second degré, une primitive sera du 3e degré.
Dérivons $U^3$ et nous nous rendons compte que $(U^3)'=3U'U^2$...
On constate l'absence du facteur 3 dans la fonction à intégrer : il faut donc partir de $\frac 1 3 U^3+Cte$
Et  $\left(\frac 1 3 U^3+Cte\right)'= U'U^2$
Mais, avec $U=2x+1$ on a $U'=2$
Et donc $\left(\frac 1 3 U^3+Cte\right)'=  2 (2x+1)^2$...

Et on se rend compte qu'il faut corriger notre primitive d'un facteur $\frac 1 2$ supplémentaire :
$\left[\frac1 3 \times \frac 1 2 (2x+1)^3 +Cte\right]'=\left[\frac 1 6 (2x+1)^3 +Cte\right]' = (2x+1)^2$

D'où :
$\int(2x+1)^2dx=\frac{1}{6} (2x+1)^3 + Cte$

Qui a dit que c'était du bricolage ? C'est pourtant comme ça que ma prof de Math Elem (agrégée, sortie 3e de Normale Sup, devenue IPR par la suite) nous avait enseigné à raisonner.

@+

DrStone

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Re : primitive

Bonsoir yoshi.

Il me semblait en effet qu’ici, le changement de variable, était la meilleure approche : rapidité et efficacité. Même si je ne vais pas mentir, j’ai aussi hésité a proposé ta façon de faire (ressemblant beaucoup à ce qu’on m’a présenté lorsque j’étais en Terminale C au tout début des années 80, pas très loin de la fin de l’époque des mathématiques modernes). Néanmoins je ne l’ai pas fait, trouvant que la présentation est un peu lourde pour une primitive aussi simple ; bien que je ne nie pas que ta présentation est très formatrice.

Bonne soirée et à bientôt dans d’autres conversations !

Roro

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Re : primitive

Bonjour,

Puisqu'on est sur le forum "collège-lycée), je rajoute mon petit grain de sel : il me semble que le changement de variable dans un calcul d'intégrale n'est pas au programme au lycée.

Même si c'est ce qu'on fait au final, je pense qu'il faut plutôt s'orienter vers une argumentation à la Yoshi en expliquant qu'on reconnait la bonne forme... (mais je suis d'accord que c'est plus élégant de parler de changement de variable).

Roro.

DrStone

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Re : primitive

Bonsoir.

Ça me paraissait un peu gros du coup j'ai vérifié… effectivement les changements de variables ne sont plus au programme (depuis combien de décennies…?). Néanmoins j'ai pu voir dans les manuels consultables en ligne qu'on y trouve encore des intégrations par parties.

Auquel cas en remarquant que $(2x+1)^2=(2x+1)(2x+1)$ et en posant $u(x)=2x+1$ et $v'(x)=2x+1$ ainsi que $u'(x)=2$ et $v(x)=x^2+x$, on a

\[
\begin{align}
\int (2x+1)^2 dx & = \int_0^x (2t+1)(2t+1) dt \\
                          & = \left[(2t+1)(t^2+t)\right]_0^x - \int_0^x 2(t^2+t) dt \\
                          & = (2x+1)(x^2+x) - 2\left[\frac{t^3}{3}+\frac{t^2}{2}\right]_0^x + C \\
                          & = (2x+1)(x^2+x) - 2(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}) + 2C \\
                          & = (2x+1)(x^2+x) - (\frac{2x^3}{3}+x^2) + 2C \\
                          & = 2x^3+2x^2+x^2+x-\frac{2x^3}{3}-x^2 + 2C\\
                          & = \frac{4x^3}{3}+2x^2+x +2C \\
\end{align}
\]
et, par magie, on trouve que cette dernière expression, en posant $2C=1$, se factorise en $\frac{1}{6}(2x+1)^3$ : $\frac{1}{6}(8x^3+12x^2+6x+1)=\frac{4x^3}{3}+2x^2+x+1$. D'où
\[\int(2x+1)^2dx=\frac{1}{6} (2x+1)^3 + C\]

Dernière modification par DrStone (09-01-2024 18:54:57)

Roro

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Re : primitive

Bonsoir,

Oui, on peut utiliser l'intégration par parties qui est au programme mais c'est vraiment pour vouloir se faire mal car il est quand même plus simple de développer $(2x+1)^2$ et d'intégrer chaque monôme... encore faut-il reconnaitre l'identité remarquable $(2x+1)^3$ à la fin...

Bref, je vote pour la rédaction à la Yoshi (sans remettre en cause les autres).

Roro.

Borassus

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Re : primitive

Bonjour,

On pose $u(x) = 2x + 1$.
On a donc $u'(x) = 2$.
L'expression dont on veut calculer la primitive est donc de la forme $\frac{1}{2} \times u'u^2$.
Et donc la primitive demandée est $\frac{1}{2} \frac{u^3}{3}$, soit $\frac{(2x + 1)^3}{6}$.
:-)

Bonne journée.
B.

Borassus

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Re : primitive

Petite note : l'utilisation de l'intégrale indéfinie pour désigner une primitive n'est pas (du tout) au programme de Terminale...

Borassus

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Re : primitive

Bonjour,

On pose $u(x) = 2x + 1$.
On a donc $u'(x) = 2$.
L'expression dont on veut calculer la primitive est donc de la forme $\frac{1}{2} \times u'u^2$.

B.

Plus généralement, si $f(x) = g(ax + b)$, $f(x)$ s'écrit $\frac{1}{a}u'g(u)$, en posant $u(x) = ax + b$.

Il suffit alors de traduire $u'g(u)$ en sa primitive par rapport à $u$.

DrStone

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Re : primitive

Bonjour.

J’ai envie de demander : « Y a-t-il seulement encore quelque chose au programme de terminale ? » mais je vais m’abstenir par respect pour nos pauvres petites têtes blondes qui, en tant qu’élèves, n’y peuvent rien. :)

Bonne journée.

Dernière modification par DrStone (17-01-2024 12:26:55)

Borassus

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Re : primitive

Bonjour,

Et donc la primitive demandée est $\frac{1}{2} \frac{u^3}{3}$, soit $\frac{(2x + 1)^3}{6}$.

B.

Plus précisément, la primitive à constante nulle est $\frac{(2x + 1)^3}{6}$.

Ou : La primitive générale est $\frac{(2x + 1)^3}{6} + C$, avec $C \in \mathbb{R}$

Borassus

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Re : primitive

Bonjour.

J’ai envie de demander : « Y a-t-il seulement encore quelque chose au programme de terminale ? » mais je vais m’abstenir par respect pour nos pauvres petites têtes blondes qui, en tant qu’élèves, n’y peuvent rien. :)

Bonne journée.

Vaste question ! Effectivement, les élèves n'y peuvent rien !

Ces restrictions sont dommageables, car c'est en allant au-delà du programme stricto sensu qu'on fait en réalité comprendre la logique des maths.
Pour ce qui est des primitives, il est plus cohérent d'utiliser l'intégrale indéfinie que de désigner la primitive par la majuscule de la lettre désignant la fonction, car on utilise le même symbole $\int$ pour l'intégrale définie, qui est basée sur la notion de... primitive.

En effet, une primitive n'est rien d'autre qu'une aire sous "la courbe" comptée à partir d'une certaine valeur de la variable.
Inversement, la dérivée d'une aire sous la courbe est la fonction elle-même.
Les notions d'aire et de dérivée sont étroitement liées. De même, les notions de fonction et d'aire.

Mais là, on sort du cadre de cette section du forum.
Rendez-vous au café, peut-être ?  :-)

Dernière modification par Borassus (17-01-2024 14:32:40)

DrStone

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Re : primitive

C’est en effet une vaste question et tout ceci est dommageable aussi bien pour les élèves que pour “la nation”. Pour les élèves en premier lieu, avec les inégalités qui se creusent : leurs diplômes, obtenus dans des Kinder Surprises, ne valent plus rien et ne les aident généralement pas à sortir de leur classe sociale : j’irais même jusqu’à dire qu’ils sont parfaitement conscients que leurs diplômes ne valent rien et que c’est la raison pour laquelle ils ne bossent pas. Pour “la nation” en second lieu, avec “l’élite” de ladite nation dont le niveau s’effondre toujours plus de génération en génération et qui finiront par ne plus être en mesure de garder le pays à flot.

Ce que je trouve horrible dans tout ça, c’est que sous couvert d’égalitarisme (ce qui est une bonne chose) on accroit les inégalités en prenant les élèves de CSP- (et a fortiori tous les élèves) pour des c*ns. Comme s’il était impensable que Mohamed ou Enzo puissent comprendre comment réaliser un changement de variable (afin de tenter de rester un peu dans le sujet) ou même, à un niveau plus élémentaire, comprennent ce qu’est l'orthocentre d'un triangle.

On se retrouve donc à pénaliser toute la population en abaissant sans cesse le niveau scolaire… ce qui paradoxalement accroit les inégalités… et le pire, c’est qu’on est conscient du problème https://www.education.gouv.fr/media/22373/download en particulier nos professeurs qui se rendent compte qu’ils ne sont pas suffisamment (bien) formés pour correctement enseigner https://www.enseignementsup-recherche.g … -30342.pdf.

Enfin bon, c’est effectivement largement hors-sujet, tu as raison. Je m’arrête donc ici, et si un jour une discussion sur le sujet est ouverte dans le café, je viendrais y poster mon sel. :)