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jezbcn

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Calcul de probabilité - distribution binomiale ?

Bonjour à tous et tous mes meilleurs voeux pour cette nouvelle année 2024 ?

J'ai une question concernant des probabilités.

J'ai une grille de 5000 cases, derrière chaque case se trouve des symboles et il se trouve qu'il y en a 6 identiques et le reste sont différents.
Je peux retourner 300 cases au total pas plus. J'aimerai calculer les probabilités suivantes:

- trouver 1 des 6 symboles identiques
- trouver 2 des 6 symboles identiques
- trouver 3 des 6 symboles identiques
- trouver 4 des 6 symboles identiques
- trouver 5 des 6 symboles identiques
- trouver 6 des 6 symboles identiques

Il me semble que cela tombe sous la coupe de la distribution binomiale, mais je n'en suis pas sûr et ne sais pas quel bout commencer ?

Auriez-vous une idée ?
Vous en remerciant d'avance,

ludovic.d

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Re : Calcul de probabilité - distribution binomiale ?

avec prudence je dirais
[tex]p(x \;symboles)=\binom{4994}{300-x}\times\binom{6}{x}\div\binom{5000}{300}[/tex]

Fred

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Re : Calcul de probabilité - distribution binomiale ?

Bonjour,

  Pour compléter la réponse de ludovic.d, il s'agit ici non de reconnaitre une variable aléatoire suivant une loi binomiale,
mais de faire du dénombrement.
Le dénominateur de ludovic.d correspond au nombre de façons de choisir 300 cases parmi 5000.
Le numérateur au nombre de choix amenant à choisir $x$ des 6 symboles identiques.

F.

jezbcn

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Re : Calcul de probabilité - distribution binomiale ?

@Fred @ludovic.d Merci à vous deux pour vos commentaires et propositions ;)

Si je comprends bien, la proba de trouver 6 fois le symbole serait donc de:

[tex]p\bigl(x=6\bigr)=\dbinom{4994}{300-6}*\dbinom{6}{6}/\dbinom{5000}{300}[/tex]

Dernière modification par jezbcn (04-01-2024 09:29:32)

Fred

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Re : Calcul de probabilité - distribution binomiale ?

oui!

jezbcn

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Re : Calcul de probabilité - distribution binomiale ?

ok merci pour tout. Je cherche maintenant à réaliser ce calcul mais ne trouve pas de calculatrice en ligne me permettant de la faire. Auriez-vous un lien ou bien une option à me conseiller ?

Cordialement,

Fred

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Re : Calcul de probabilité - distribution binomiale ?

Re-

  il vaut mieux réfléchir avant de faire de proposer le calcul à un ordinateur. Il y a de nombreuses simplifications qui vont apparaître quand on fait le quotient des deux coefficients binomiaux.

F.

jezbcn

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Re : Calcul de probabilité - distribution binomiale ?

Merci @Fred, alors je ne suis pas matheux du tout, je suis project manager et je suis en train d'étudier la faisabilité d'un jeu pour la société pour laquelle je travaille, du coup tout ca me dépasse malheureusement ^^

Est -ce que je peux du coup simplifier le calcul de cette manière ?

[tex]p\bigl(x symboles\bigr)=\dbinom{4994}{300-x}*\dbinom{6}{x}/\dbinom{5000}{300}[/tex]

[tex]p\bigl(x=6\bigr)=\dbinom{4994}{300-6}*\dbinom{6}{6}/\dbinom{5000}{300}[/tex]

[tex]p\bigl(x=6\bigr)=\dbinom{2497}{147}*\dbinom{6}{6}/\dbinom{50}{3}[/tex]

Dernière modification par jezbcn (05-01-2024 08:50:23)

bridgslam

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Re : Calcul de probabilité - distribution binomiale ?

Bonjour,

Vous ne pouvez pas simplifier par un nombre en haut et en bas.

Noter que si dans vôtre jeu, on regarde ce qu'on a tiré à chaque case, en arrêtant si x est obtenu, les probabilités sont différentes (plus grandes).
En effet un tirage en bloc des 300 cases annihile potentiellement  un évènement favorable précédent en tirage progressif, où x avait été obtenu.
Je pense à cela car dans vôtre énoncé, vous indiquiez "pas plus de 300", pourquoi pas moins aussi?
Par ailleurs ce mode de tirages semble plus correspondre aux jeux TV actuels.

La formule est exprimable aussi, sous forme sommatoire.

A.

Fred

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Re : Calcul de probabilité - distribution binomiale ?

Bonjour,

  Non, on ne peut pas simplifier de cette façon.
Mais
$$\frac{\binom{4994}{294}}{\binom{5000}{300}}=\frac{4994\times\cdots\times 4701}{294\times\cdots\times 1}\times \frac{300\times 299\times\cdots\times 1}{5000\times 4999\times\cdots\times 1}=\frac{300\times \cdots\times 295}{5000\times \cdots\times 4995}.$$
Et là, n'importe quel ordinateur fera le calcul simplement.

F.