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Marvin007

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Codage par chiffrement RSA

Bonjour à tous, j'envoi ce message pour savoir si ma réponse est bonne pour cet exercice svp?
Codage par chiffrement RSA

Partie A. Propriété sur laquelle repose le codage/décodage

Soit $p$ et $q$ deux nombres premiers et $m$ un entier premier avec $p$ et $q$. 1. Sachant que $m^{p-1} \equiv 1$ (modulo $p$ ) et que $m^{q-1} \equiv 1$ (modulo $q$ ) (petit théorème de Fermat), montrer que :
$$
m^{(p-1)(q-1)} \equiv 1(\text { modulo } p q) .
$$

Ma réponse : On sait que $m^{q-1} \equiv 1$ et que $m^{p-1} \equiv 1$

Donc $m^{(p-1)}m^{(q-1)} \equiv 1\cdot 1(\text { modulo } p q) .$
Par conséquent
$m^{(p-1)(q-1)}$ $\equiv 1(\text { modulo } p q)$ .

Merci et bonne fêtes à vous tous!

LionAuthentique2303

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Re : Codage par chiffrement RSA

Bonjour,

Ta réponse n'est pas bonne car tu sembles utiliser une propriété qui n'existe pas : en général, on ne peut pas multiplier des congruences terme à terme si les modulos diffèrent.

Je te donne un contre-exemple, on sait que $ 2 \equiv 0 \ (\mod 2)$ et $ 1 \equiv 1\ (\mod 3)$.

Si je multiplie terme à terme j'obtiens à gauche $ 2 \times 1 = 2$, à droite $0\times 1 = 0$ et le produit des modulo est $2\times 3 = 6$.

Or, $2 \not\equiv 0\ (\mod 6)$.

Le "Donc" que tu utilises n'est pas incorrect, mais il nécessite une justification, et c'est justement l'objet de l'exercice.

Dernière modification par LionAuthentique2303 (03-01-2024 13:54:31)

Marvin007

Membre

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Re : Codage par chiffrement RSA

Bonjour,

Ta réponse n'est pas bonne car tu sembles utiliser une propriété qui n'existe pas : en général, on ne peut pas multiplier des congruences terme à terme si les modulos diffèrent.

Je te donne un contre-exemple, on sait que $ 2 \equiv 0 \ (\mod 2)$ et $ 1 \equiv 1\ (\mod 3)$.

Si je multiplie terme à terme j'obtiens à gauche $ 2 \times 1 = 2$, à droite $0\times 1 = 0$ et le produit des modulo est $2\times 3 = 6$.

Or, $2 \not\equiv 0\ (\mod 6)$.

Le "Donc" que tu utilises n'est pas incorrect, mais il nécessite une justification, et c'est justement l'objet de l'exercice.

Bonjour, je te remercie infiniment pour ta réponse, effectivement ça me paraissait trop simple.
Je vais y réfléchir encore, bonne année à toi au passage.