Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Damien.Gomes

Membre

Inscription : 24-12-2023

Messages : 4

Cyclicité de (K*, x)

Bonjour à tous,
J'aimerai avoir votre avis sur ma rédaction de preuve de la cyclicité de (K* , x).

Etape 1 : o(Ed) ≤ d => G cyclique

Soit G un groupe d'ordre fini n. Pour tout diviseur d de n, on pose Ed = {x de G tq x^d = 1}. On note alpha(d) le nombre d'élément de G d'ordre d et phi(d) l'indicatrice d'Euler évaluée en d.
Supposons que, pour tout diviseur d de n, o(Ed) ≤ d. Montrons que alpha(d)= phi(d).
Si alpha(d)=0 alors le cas est trivial.
Sinon il existe un élémnet a de G d'ordre d. Ainsi <a> est inclu dans Ed.
Mais alors o(<a>) = d ≤ o(Ed) d'où o(Ed)= d et Ed = <a>.
Or <a> contient phi(d) générateurs d'où alpha(d) ≤ phi(d).
De plus, par la formule de Möbius (dsl je ne suis pas bon en latex pour la taper), on obtient que alpha(d) = phi(d).
En considérant le cas d = n, G admet un élément d'ordre n. D'où G est cyclique.

Etape 2 : (K*, x)

Soit (K, +, x) un corps fini. D'une part, (K*, x) est bien un groupe fini. Notons n son ordre.
D'autre part, soit d un diviseur de n. Puisque K est un corps, le polynôme X^d - 1 admet au plus d racines sur K.
Donc o(Ed) ≤ d et ainsi (K*, x) est cyclique.

Désolé je ne suis pas assez bon en latex pour tout taper proprement... mais merci d'avance

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : Cyclicité de (K*, x)

Bonjour

  Je ne comprends pas pourquoi c'est trivial si $\alpha(d)=0.$

F.

Damien.Gomes

Membre

Inscription : 24-12-2023

Messages : 4

Re : Cyclicité de (K*, x)

Bonjour Fred,

Je suis partie du fait que si alpha(d) = 0 alors G n'admet aucun élément d'ordre d et ainsi Ed est réduit à l'ensemble vide.
Donc alpha(d) ≤ phi(d).

Merci de ta réponse.

Dernière modification par Damien.Gomes (25-12-2023 02:25:01)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : Cyclicité de (K*, x)

D'accord. En fait c'est assez mal expliqué. Tu démontres d'abord que alpha(d)<=phi(d) pour tout entier d puis tu utilises la formule de Möbius pour démontrer qu'il y a égalité une fois que tu as cette inégalité pour tous les d.

Sinon je crois que c'est correct !

Damien.Gomes

Membre

Inscription : 24-12-2023

Messages : 4

Re : Cyclicité de (K*, x)

Oui tu as raison, il faudrait que je détaille mieux cette partie.

Merci pour tes réponses.