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#1 23-12-2023 18:47:34
- tilda
- Membre
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Intégrale convergente
Bonsoir
S'il vous plait , si j'ai une fonction f définie sur un intervalle ouvert I de R à valeur dans R , je prends I=]a,b] a fini par exemple , si je veux montrer que l'intégrale de f sur ]a,b] est finie il suffit de prolonger f par continuité en a pour que l'intégrale existe ?
Merci beaucoup
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#4 23-12-2023 20:49:40
- bridgslam
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- Messages : 1 903
Re : Intégrale convergente
Bonsoir,
Hum I n'est déjà pas un intervalle ouvert puisque fermé à droite.
L'intégrale de Riemann concerne les fonctions intégrables sur un segment.
Dès lors que c'est intégrable sur ce segment c'est par définition pour la valeur intégrale un nombre fini: il n'y a pas de valeur infinie pour l' intégrale de Riemann.
Puisque vous vous placez sur un intervalle ouvert à gauche ( et que je suppose f continue sur I , ce qui n'est pas dit ) il y a deux éventualités :
- si f a une limite finie l en a, f est intégrable sur I , la valeur de f en a pour prolonger f n'a aucune importance (ni pour l'intégrabilité , ni pour la valeur de l'intégrale ). Vous pouvez le faire pour retomber sur un fonction continue en lui donnant la valeur l si vous préférez...
- si f n'a pas de limite, ou une limite infinie en a, il faut regarder
la valeur de l'intégrale sur [x, b] et étudier si cette intégrale converge lorsque x tend vers a.
Il s'agit alors d'étudier une intégrale généralisée.
Prolonger par continuité une fonction en un point revient à lui attribuer sa limite en ce point si elle en a une.
Elle sera alors continue en ce point.
A.
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#6 24-12-2023 08:56:40
- bridgslam
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- Messages : 1 903
Re : Intégrale convergente
Bonjour ,
Ce n'est pas ce que j'ai dit.
Simplement en affectant la valeur limite en a à f, vous la rendez continue, mais le changement d'image en un point ne modifie en rien son intégrabilité, ni la valeur de l'intégrale.
Vous le voyez déjà avec des fonctions en escaliers.
A.
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#8 24-12-2023 11:07:11
- bridgslam
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Re : Intégrale convergente
Bonjour,
Si f admet une limite finie l en a (exclus de son ensemble de définition), alors prolonger f en a en lui affectant l comme image rend continue en a son prolongement.
Je ne vois pas où vous voulez en venir.
A.
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#9 24-12-2023 11:11:02
- bridgslam
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Re : Intégrale convergente
Bonjour
Et si f n'est pas continue en ce point limite en a ?
Noter qu'au départ de toute façon f ne peut être continue en un point où elle n'est pas définie.
En plus votre phrase en soi n'a pas de sens: ce n'est pas a qui est point limite, la limite est une valeur dans le but de f, pas au départ.
J'arrête là l'échange, qui revient à reprendre les notions de base que vous devez trouver dans tout cours digne de ce nom en Analyse.
Bonnes fêtes
A.
Dernière modification par bridgslam (24-12-2023 11:30:22)
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