pourquoi la base 10 ?

sinus pax · 15-08-2008 10:17:50

Bonjour,

Pourquoi la base 10 plutôt que la base 12 ?

Sans doute parce que 5 et 2, diviseurs de 10, divisent TOUS les nombres. Ainsi, la division de n'importe quel entier par une puissance de 10 donne un nombre "décimal". C'est impossible en base 12. En effet, 12 contient 3 qui ne divise, dans N, que ses multiples (2 n'est pas divisible par 3). Ce n'est donc pas un problème de nombre de diviseurs, mais de divisibilité pure. La base 12 peut être intéressante dans un système ignorant les nombres rationnels. C'était le cas dans l'antiquité.

yoshi · 15-08-2008 13:47:32

Bonjour,

Un élément de réponse...
Extraits du livre de Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres (publié la première fois avec le concours du C.N.R.S.).
<< Dix doigts pour compter
De temps immémorial, nos dix doigts ont souvent servi et servent parfois encore de support matériel au concept numérique. Il est vrai que la main offre à l'être humain deux qualités fondamentales, destinées à exercer une prodigieuse influence sur son existence ultérieure : une main (ou deux mains réunies) peut être considérée non seulement comme une totalité, mais aussi comme une véritable succession naturelle de collections de doigts (un doigt, deux doigts, ..., cinq doigts, ..., dix doigts). Autant dire qu'avec la main, l'idée du nombre cardinal, de même que celle du nombre ordinal, devient véritablement intuitive. Il s'agit donc de la succession d'assemblages types la plus simple et la plus naturelle que l'homme ait, pour ainsi dire, sous la main.
Mais, comme l'explique G. Guitel (19) « ceci n'a été possible que parce que la main ne présente aucune symétrie rayonnée. Comment imaginer (en effet) qu'une étoile de mer puisse compter sur ses bras le nombre des huîtres qu'elle a dévorées depuis la dernière marée ? >>

Et encore plus loin :
<<Les numérations décimales
[...]
Mais, en dehors de son mérite purement anatomique, la base dix ne présente que peu d'avantages d'un point de vue mathématique ou pratique. Tout autre nombre (à l'exception peut-être de neuf) aurait aussi bien fait, et sans doute mieux encore.
Dans un commentaire plein de saveur, T. Dantzig (3) fustige cette adoption :
Si l'on confiait le choix d'une base de numération à un groupe d'experts, nous assisterions probablement à un conflit entre le praticien qui insisterait pour posséder une base ayant le plus grand nombre de diviseurs, douze, par exemple, et le mathématicien qui demanderait un nombre premier, sept ou onze.
En fait, vers la fin du xviiie siècle, le grand naturaliste Buffon a proposé l'adoption universelle du système duodécimal (base douze) ; il faisait ressortir que douze a quatre diviseurs, tandis que dix n'en a que deux et déclarait que l'on avait, à travers les siècles, vivement ressenti cette incommodité du système décimal, à tel point que la plupart des mesures avaient 12 unités secondaires, bien que dix fût la base universelle.
Par contre, le grand mathématicien Lagrange déclarait qu'un nombre premier doit constituer une base beaucoup plus avantageuse ; il expliquait que, de cette façon, toute fraction serait irréductible et représenterait par conséquent le nombre d'une seule manière ; en effet, dans notre numération actuelle, la fraction décimale 0,36, par exemple, représente trois fractions : 36/100, 18/50 et 9/25 ; une pareille ambiguïté disparaîtrait totalement si l'on avait comme base un nombre premier, onze, par exemple. (...) Mais, en tout cas, le groupe d'experts dont nous avons parlé se serait prononcé soit pour un nombre premier, soit pour un multiple à beaucoup de diviseurs. Il n'aurait sûrement jamais envisagé le nombre dix, qui n'est pas premier et qui ne possède que deux diviseurs.[...]>>
Ce livre vaut d'être lu. Personnellement, à l'époque je l'avais parcouru d'une traite tant il me passionnait et était de lecture aisée...
On le trouve actuellement aux Ed. Robert Laffont en deux tomes (parfois réunis en un beau coffret) au format poche.

Si le coeur vous en dit...

@+

(3) T. Danzig in "Le nombre, langage de la Science"
(19) G. Guitel in "Histoire comparée des numérations écrites"

Dernière modification par yoshi (15-08-2008 17:16:13)

Barbichu · 15-08-2008 14:19:54

Salut,

sinus pax a écrit :

Sans doute parce que 5 et 2, diviseurs de 10, divisent TOUS les nombres.

Quelque chose m'échappe ...
++

yoshi · 15-08-2008 16:31:17

Re,

Sinus pax, por rebondir sur l'interrogation de Barbichu, as-tu vérifié ton affirmation ?
Par exemple en divisant le nombre (écrit en base douze) deux-quatre-un par 5 :
[tex]\frac{\bar{241\,}^{12}}{\bar{5\,}^{12}}= ?[/tex]

@+

[EDIT]
Je suis toujours compliqué...
Limitons-nous à la question :
As-tu vérifié ton affirmation, par exemple en divisant le nombre (écrit en base douze) un-zéro (soit 12 en base dix) par 5 ?
[tex]\frac{\bar{\,10\,}^{12}}{\bar{5\,}^{12}} = ?[/tex]

yoshi · 16-08-2008 10:14:09

Rebonjour,

Allez, un codicille...
Et [tex]\frac{\bar{5\,}^{12}}{\bar{3\,}^{12}} = ?[/tex]

@+

sinus pax · 16-08-2008 12:17:42

Non, je n'ai pas vérifié pour d'autres bases. Mais il me semble que quelle que soit la base, 3 (°°°) ne divisera jamais 2 (°°). 12 en base 10 divisé par 5 n'est pas divisible puisqu'il s'agit de 12 et non de 10, même si 12 s'écrit "10" (illusion d'optique due au symbole). Ne jouons pas sur les apparences. Le mieux est de voir les choses en base 1.
Merci pour les infos.

sinus pax · 16-08-2008 12:28:55

sinus pax a écrit :

Non, je n'ai pas vérifié pour d'autres bases. Mais il me semble que quelle que soit la base, 3 (°°°) ne divisera jamais 2 (°°). 12 en base 10 divisé par 5 n'est pas divisible puisqu'il s'agit de 12 et non de 10, même si 12 s'écrit "10" (illusion d'optique due au symbole). Ne jouons pas sur les apparences. Le mieux est de voir les choses en base 1.
Merci pour les infos.

Pardon, 12 en base 12 est aussi divisible par 5, évidemment, même si 12 s'écrit "10".
12 = °°°°°°°°°°°°, même en base 12.

Barbichu · 16-08-2008 12:50:38

Salut,
bon, j'arrête de faire l'idiot : il y a clairement un problème de vocabulaire.

1/ La divisibilité est une notion arithmétique. Exemples : 3 ne divise pas 2, 2 ne divise pas 3. 2 et 5 divisent 10. Plus généralement chaque nombre ne divise que ses multiples ! Et cette notion est indépendante de la représentation (de la base) choisie.
2/ La division pour les rationnels existe toujours. ex: 2 divisé par 3 c'est 2/3. Et cette notion est encore indépendante de la représentation choisie.

En fait, je présume que tu voulais sûrement parler de la possibilité de représenter des rationnels par des nombres à virgules, de manière finie, sans autoriser un marquage de périodicité ?

Dans ce cas, en base 10, seules les divisions par 2, 5 (et leurs multiples du coup) préservent l'écriture décimale.
De la même manière, en base 12 seules les divisions par 2 et 3 (et leurs multiples) préservent l'écriture à virgule en base douze (on ne peut plus parler de décimale)

Pour revenir à ton message de départ et à ma question délibérément naïve (à laquelle tu n'as pas répondu) : NON, 5 et 2, diviseurs de 10, ne préservent pas l'écriture à virgule des nombres dans n'importe quelle base ! seulement en base 10 ! Ils ne préservent que l'écriture décimale.

C'est impossible en base 12. En effet, 12 contient 3 qui ne divise, dans N, que ses multiples (2 n'est pas divisible par 3). Ce n'est donc pas un problème de nombre de diviseurs, mais de divisibilité pure.

Non, ce n'est pas un problème de "divisibilité pure", cf 1/
Tu confonds là représentation et nombre, ainsi que division de rationels et divisibilité.

++

Dernière modification par Barbichu (16-08-2008 13:15:10)

Barbichu · 16-08-2008 13:07:27

sinus pax a écrit :

sinus pax a écrit :
Non, je n'ai pas vérifié pour d'autres bases. Mais il me semble que quelle que soit la base, 3 (°°°) ne divisera jamais 2 (°°). 12 en base 10 divisé par 5 n'est pas divisible puisqu'il s'agit de 12 et non de 10, même si 12 s'écrit "10" (illusion d'optique due au symbole). Ne jouons pas sur les apparences. Le mieux est de voir les choses en base 1.
Merci pour les infos.
Pardon, 12 en base 12 est aussi divisible par 5, évidemment, même si 12 s'écrit "10".
12 = °°°°°°°°°°°°, même en base 12.

Tu parles ici de de divisibilité comme une notion indépendante de la base. Est-ce la notion de divisibilité que j'ai énoncée en #8,1/ ? si c'est le cas c'est faux, les seuls divisieurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12. 5 n'en fait pas partie.
Si c'est celle que j'ai énoncée en #8,2/, tout nombre "divise" tout nombre et tes propos n'ont plus de sens.
Si c'est une question de représentation à virgule, as-tu compris que la représentation à virgule dépendait elle aussi de la base, et as-tu essayé de représenter 12/5 (notation en base dix) en base douze comme te l'as suggéré yoshi ? Si tu l'avais fait, tu aurais sûrement compris les objections que l'on t'opposait.

Merci de répondre aux petites questions que l'on te pose. Parce qu'en ne répondant pas aux petites questions tu me forces à écrire des tartines pour prévoir un peu tous les cas que j'imagine, alors que si tu avais répondu aux 3 petites questions, j'aurais pû me limiter à l'essentiel.

++

Dernière modification par Barbichu (16-08-2008 13:16:33)

sinus pax · 16-08-2008 13:29:06

OK OK ! Merci pour les réponses. J'essaie seulement de comprendre. Par exemple, peux-tu m'expliquer comment on calcule 1/5 en base 12 ? Merci.

yoshi · 16-08-2008 13:33:22

Re,

sinus pax a écrit :

Ne jouons pas sur les apparences.

Ca ce n'est pas gentil (et là, pour le coup, c'est moi qui le suis, gentil), je ne jouais pas sur les apparences du tout, sinon je ne me serais pas escrimé à utiliser la notation [tex]\bar{10\,}^{12}[/tex] ni à rendre la fraction "présentable" (avec des nombres à peu près centrés).
Où vois-tu une tentative de t'induire en erreur ?
Aurais-tu préféré que j'écrive : "quel est, en base douze, le quotient de la division de de un-zéro par cinq" ?

En base douze : 10 | 5
20 |-------------
40 | 2,497249724....
30 |
10 |
20
40
30
10
20
4
On n'obtient pas un nombre fini de chiffres après la virgule : 5 joue pour 10 (douze en base douze) le même rôle rôle que 3 (par exemple) pour 10 (en bases dix) : voir ce qu'a dit Barbichu.

@+

Barbichu · 16-08-2008 13:46:47

NB pour yoshi : c'est fou qu'au bout de 10 messages parlant de base 12 et contenant des exemples numériques, on n'ait pas encore eu besoin d'introduire les 2 chiffres manquants ! Et merci d'avoir posé la division.

Dernière modification par Barbichu (16-08-2008 13:49:07)

yoshi · 16-08-2008 16:06:30

Re,

Derien...

Et c'est bien vrai...
En outre, je tiens en réserve les tables d'addition et de multiplication en base douze avec A et B....
Dans le temps j'avais appris à utiliser [tex]\alpha[/tex] et [tex]\beta[/tex], mais je me suis dit que, après tout, pourquoi ne pas faire comme pour seize...
Sais-tu s'il y a une normalisation précise là-dessus ?

@+

Barbichu · 16-08-2008 16:14:54

héhé,
je me demandais justement si tu stockais des tables (notamment de multiplication) en base douze.
Wikipédia en français semble dire qu'il est d'usage d'utiliser les lettres majuscule, et c'est également ce que je fais. Néanmoins, je ne suis pas persuadé qu'il existe une convention universelle là dessus.
++

sinus pax · 16-08-2008 16:15:38

C'est vraiment sympa de prendre du temps à expliquer des évidences au paysan que je suis. Donc, si j'ai bien compris, 5 ne divise aussi que ses multiples (hé ! hé!). Mais pour 2 ? Je présume que pour toute base la division par 2 donne toujours un résultat fini (c'est effectivement de nombres à virgules finis dont je parlais, mais je me suis laissé piéger par la base 10).

Barbichu · 16-08-2008 16:35:58

Hello
tout nombre ne divise que ses multiples, cependant le résultat de la division d'un nombre entier [tex]n[/tex] par un nombre entier [tex]m[/tex] qui ne divise pas [tex]n[/tex] peut se représenter de manière finie par un nombre à virgule dans une base [tex]b[/tex]. Cette représentation de [tex]m \over n[/tex] en base [tex]b[/tex] existe si les les divieurs premiers de [tex]n[/tex] sont des diviseurs de [tex]b[/tex].

Exemple : (tous les nombres seront écrit ici en base dix, sauf ceux entre guillemets)
2 divise 4 ------> 4/2 = 2 aucun problème, quelque soit la base
3 divise 33 ------> 33/3 = 11 aucun problème, quelle que soit la base
2 ne divise pas 5 ------> 5/2 se représente de manière finie dans toute base b telle que 2 divise b
En particulier pas de problème en base 10 : "2,5", ni en base 12 : "2,6", en base 16 : "2,8"
Par contre on ne va pas pouvoir l'écrire de manière finie en base 3, 5, 7, 9, 11, etc ...
5 ne divise pas 12 -------> 12/5 se représente sans pb en toute base b telle que 5 divise b
En particulier pas de problème en base 10 : "2,4", ni en base 5 : "2,2", en base 15 : "2,6"
Par contre on ne va pas pouvoir l'écrire de manière finie en base 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, etc ...
++
[edit]
pour compléter en répondant à ta question sur 2. Calculons 1/2 en base 3.
1 | 2
10 |-------------
10 | 0,111111...
10
10
10
10
....
Ce qui est bien une écriture "infinie", comme attendu puisque 2 (seul diviseur premier de 2), ne divise pas 3.

Dernière modification par Barbichu (16-08-2008 16:53:31)

yoshi · 16-08-2008 17:04:01

Re,

Des évidences ? Que nenni !
Ce n'est pas (très) difficile, mais ça demande beaucoup d'attention et de rigueur : on se fait vite piéger... Et l'Arithmétique, en général, est un domaine beaucoup plus vaste, plus riche et plus intéressant qu'on ne croit.
Il faut voir la tête des élèves de 3e ou de 2nde quand on leur parle de la base deux...

T.D.A.R.S.A.QQ

@+

sinus pax · 17-08-2008 15:55:14

Je voulais dire des évidences pour vous. Pour un profane, c'est vrai que le résultat (infini) de la division de 1 par 2 en base 3 a quelque chose de magique.
Je voulais savoir si la division par 2 était finie pour tout entier autre que 1, toutes bases confondues ?

yoshi · 17-08-2008 17:49:57

Re,

Sans trop me fatiguer, je dirais que la réponse est dans le post #16 de Barbichu.

Pour ajouter un regard autre (mais pas différent) :
1. la division par 2 sera finie dans les bases dont 2 est un diviseur entier : 2, 4, 6, 8, 10, 12...
2. dans les autres bases, la division par 2, d'un nombre (converti en base dix) "pair" est évidemment finie, par contre la division par 2 d'un nombre "impair" sera infinie...
Je m'explique : soit à diviser un-trois et un-deux par 2 en base cinq.
13 | 2 12 | 2
0 | --- 10 |------
| 4 1 | 3,222222.....

Le nombre "pair" n'est donc pas celui qu'on croit : en effet [tex]\bar{13\,}^5\,=\,\bar{8\,}^{10}[/tex], mais [tex]\bar{12\,}^5\,=\,\bar{7\,}^{10}[/tex]

En base cinq, les multiples de 2 s'écrivent : 0, 2, 4, 11, 13, 20, 22, 24, 31, 33, 40, 42, 44, 101...
Et les multiples de 2 plus 1 (les "impairs") : 1, 3, 10, 12, 14, 21, 23, 30, 32, 34, 41, 43, 100...
On pourrait dégager le critère de divisibilité par 2 en (qui nous rappellerait quelque chose...) base cinq : on voit qu'il n'est pas possible de regarder les seules terminaisons comme en base dix...

@+

sinus pax · 19-08-2008 09:36:00

Re,

Merci. Très instructif. Mais que donne, par exemple, la division de 7 / 2 en base 1 ?

°°°°°°° : °°

yoshi · 19-08-2008 11:00:20

Re,

Pour moi, la base 1 n'existe pas, elle ne comporterait qu'un chiffre 0, permettant d'écrire le nombre 0.
Voilà le nombre d'étoiles correspondant au nombre 0 :
Il n'y en a pas...
Ecrire 3 en base 1 :
***
c'est faire des groupes de 1, puis des groupes de 1 groupe de 1... On n'avance pas.

@+

sinuspax · 20-08-2008 08:33:07

Il me semble que zéro existe en base 1, c'est l'ensemble vide. La différence avec les autres bases est qu'on ne le représente pas par un symbole. J'ai souvent constaté que plus on reculait vers l'origine de l'arithmétique, moins on avait de références. La base 1 est pourtant la seule qui puisse avoir une quelconque réalité, puisque tous les entiers y sont représentés tels quels. Les autres bases sont certes plus pratiques mais on n'y manipule que des symboles de nombres, pas des nombres.
Et puis, si l'on a N représentations numériques, comment s'écrit en définitive le nombre PI ?

yoshi · 20-08-2008 09:05:32

Bonjour,

Je n'ai pas dit que zéro n'existait pas, j'ai dit que c'était le seul nombre codable en base 1.
Pour le reste, ce que tu dis à propos de la base 1 va à l'encontre de tout ce que j'ai toujours lu ou appris.
Donnons une définition, admise par tous, de la notion de base :
Une base de numération est l'ensemble des symboles nécessaires à l'écriture des nombres dans cette base.(http://publimath.irem.univ-mrs.fr/glossaire/BA014.htm).
Moyennant quoi, à part dire que 0 est le nombre d'éléments de l'ensemble vide (et non l'ensemble lui-même), je ne vois pas quel autre nombre tu vas bien pouvoir écrire en base un qui ne possède qu'un seul chiffre 0.
Deux questions :

La base 1 est pourtant la seule qui puisse avoir une quelconque réalité, puisque tous les entiers y sont représentés tels quels.

peux-tu t'expliquer ?
Représente donc deux entiers (autre que zéro), par exemple 3 et 8, en base 1, en n'utilisant que le chiffre 0 : je ne demande qu'à voir.

Et puis, si l'on a N représentations numériques, comment s'écrit en définitive le nombre PI ?

Là, non plus je ne comprends pas...
Qu'est-ce que tu entends par N représentations ? On a, grosso modo, autant d'écritures différentes d'un nombre donné que de bases qui lui sont inférieures... Ce n'est pas le nombre qui change mais son écriture, et après ?
Quant à Pi, comme tous les nombres transcendants, il est impossible d'en donner une représentation numérique (finie) au même titre que e (l'exponentielle) et bien d'autres.

@+

[EDIT]

Quid.fr a écrit :

On peut utiliser, comme base de numération, tout nombre entier à partir de 2.

Ou encore :

BibM@th a écrit :

Proposition (écriture en base a) : Soit a un entier naturel supérieur ou égal à 2, et soit m un entier naturel. Alors il existe un unique entier naturel p et une unique liste de (p+1) éléments tels (x0,...,xp) appartenant à {0,...,p-1} tels que :
[tex]m\,=\sum\limits_{k\,=\,0}^p x_ka^k\;\text{et }x_p\,\not=\,0[/tex]

Lien : http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … ation.html

Barbichu · 20-08-2008 13:20:26

salut,
sinus pax, la base 1 n'existe pas, comme le dit yoshi, cela n'a pas de sens.
Ce que tu appelles "base 1", s'appelle en fait "système unaire" que j'abrégerai unaire.

En tout cas, ça ne change rien que je ne comprends pas cet acharnement à vouloir comprendre les nombres par leur représentation.

sinuspax a écrit :

Et puis, si l'on a N représentations numériques, comment s'écrit en définitive le nombre PI ?

La meilleur représentation qu'on puisse avoir de Pi, c'est le nommer Pi, après-tout.
Pourquoi, mais pourquoi ne veux-tu pas que les nombres soient indépendant de leur représentation ?
++

sinuspax · 31-08-2008 14:35:16

Bonjour,

Va pour le système unaire. Eh bien, dans ce système, on pourrait écrire PI sous la forme :

III ~

Si l'on veut plus de précision, il faut adopter une base. Donc l'écriture à virgules de PI est étroitement liée au système des bases de numération dans lesquelles tout nombre est un symbole, et non le nombre lui-même.

Ex : "12" est le symbole de "************" (en base 10).

Dernière modification par sinuspax (05-09-2008 18:06:04)

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#1 15-08-2008 10:17:50

pourquoi la base 10 ?

#2 15-08-2008 13:47:32

Re : pourquoi la base 10 ?

#3 15-08-2008 14:19:54

Re : pourquoi la base 10 ?

#4 15-08-2008 16:31:17

Re : pourquoi la base 10 ?

#5 16-08-2008 10:14:09

Re : pourquoi la base 10 ?

#6 16-08-2008 12:17:42

Re : pourquoi la base 10 ?

#7 16-08-2008 12:28:55

Re : pourquoi la base 10 ?

#8 16-08-2008 12:50:38

Re : pourquoi la base 10 ?

#9 16-08-2008 13:07:27

Re : pourquoi la base 10 ?

#10 16-08-2008 13:29:06

Re : pourquoi la base 10 ?

#11 16-08-2008 13:33:22

Re : pourquoi la base 10 ?

#12 16-08-2008 13:46:47

Re : pourquoi la base 10 ?

#13 16-08-2008 16:06:30

Re : pourquoi la base 10 ?

#14 16-08-2008 16:14:54

Re : pourquoi la base 10 ?

#15 16-08-2008 16:15:38

Re : pourquoi la base 10 ?

#16 16-08-2008 16:35:58

Re : pourquoi la base 10 ?

#17 16-08-2008 17:04:01

Re : pourquoi la base 10 ?

#18 17-08-2008 15:55:14

Re : pourquoi la base 10 ?

#19 17-08-2008 17:49:57

Re : pourquoi la base 10 ?

#20 19-08-2008 09:36:00

Re : pourquoi la base 10 ?

#21 19-08-2008 11:00:20

Re : pourquoi la base 10 ?

#22 20-08-2008 08:33:07

Re : pourquoi la base 10 ?

#23 20-08-2008 09:05:32

Re : pourquoi la base 10 ?

#24 20-08-2008 13:20:26

Re : pourquoi la base 10 ?

#25 31-08-2008 14:35:16

Re : pourquoi la base 10 ?

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