Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Marvin007

Membre

Inscription : 29-12-2021

Messages : 25

equation diophantienne

Bonjour à tous et bon week-end au passage.

j'envoi ce message non pas pour avoir le corrigé de cet exo, mais pour comprendre les réponses de ces élèves et avoir de l'aide pour les question à traiter svp.

Voici l'exercice:  Les questions à traiter

1. Analyser la réponse des deux  élèves en mettant en évidence leurs réussites ainsi que leurs erreurs. Vous préciserez l'accompagnement que vous pouvez leur proposer.
2. Proposer une correction de l'exercice telle que vous l'exposeriez devant une classe de terminale Option Mathématiques Expertes.

L'exercice en lui même :

Une troupe d'hommes et de femmes a dépensé dans une auberge 1000 sous. Les hommes ont payé 19 sous chacun, les femmes 13. Combien y avait-il d'hommes et de femmes?
Extrait des Éléments d'algèbre d'Euler.
Réponses de trois élèves de terminale Option Mathématiques expertes
Élève 1
Soit x le nombre d'hommes et y le nombre de femmes, on aura l'équation 19x+13y = 1000.
Cela donne y=
1000-19.x 13
12-6x
=76-x+
13
Par conséquent 12-6x est divisible par 13, donc 2-x l'est.
D'où x=2 car 2-x est un entier naturel donc positif et par conséquent y = 74.
Il y avait donc 2 hommes et 74 femmes, j'ai vérifié, ça marche.

Élève 2
J'ai écrit l'algorithme ci-dessous et je l'ai testé:
pour x allant de 1 à 52 faire
pour y allant de 1 à 52 faire
si 19x+13y = 1000 alors Afficher (x, y)
fin
fin
fin
J'obtiens comme affichage: (28,36) et (41,17).
J'ai vérifié ces résultats et c'est bon mais je ne pense pas que ce soit une démonstration.
...................

Mon interprétation de leurs réponses :
Le premier élève n'a pas tort mais il n'a trouvé qu'une solution alors qu'il y en a 4(couples).

Je me demande si on pouvais prédire qu'il y avait 4 couple d'ailleurs.

Un simple tableur , tableau de valeur permet de trouver les solutions:
f(0) = 76.923077
f(1) = 75.461538
f(2) = 74
f(3) = 72.538462
.............

On sait que 19x + 13y =1000

y=(1000-19x)/13

valeur possible de x =2 , 28 , 41,15

valeur y =74, 36 , 17, 55

Le deuxième élève a raison mais il lui manque deux couple, il y a une erreur dans son programme je pense.
L'élève 1 a voulu simplifier là  ou ce n'est pas possible ,pour lui  y= [ (76*13)+12] /13+(13*-x-6x)/13 =(12-6x)/13 ce qui est faut bien entendu.
il y a le + et le - qui l'empèche de simplifier.
On peut seulement dire que 76*13 cong 0 mod 13   "cong : congru"
donc 76*13+12 cong 12 mod 13
de même -19x cong -6x mod 13 (pas sûr que ça nous avance à grand chose ...)
je vois mais (12-6x) divisible par 13 car numérateur pair et dénominateur impaire.
Ensuite il déduit 2-x divisible par 13 c'est faux je pense.
L'utilisation d'un tableau de valeur ou de l'équation f(x) =1000... n'est pas une démonstration, aucun des deux n'a utiliser les notion d'algèbre. le premier élève a trouver la solution ,particulière sans en être conscient mais il manque la solution générale.pour trouver tout les couples!

Dernière modification par Marvin007 (02-12-2023 13:57:54)

Dalal

Membre

Inscription : 14-09-2023

Messages : 57

Re : equation diophantienne

Bonjour,

Pourquoi vous postez sur ce forum étant donner qu'on vous à déjà répondu sur un autre site :

https://www.ilemaths.net/sujet-equation … 89632.html

Surtout qu'on vous a déjà fait la remarque :

https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=14746
https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=14747

Bonne journée.

Dernière modification par Dalal (02-12-2023 14:31:28)

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : equation diophantienne

Bonjour,

Je ne vais pas m'étendre une fois de plus sur la nécessité de ne pas essayer de manger à plusieurs râteliers : bis repetita non placent !

Discussion fermée...

      Yoshi
- Modérateur