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walterwhitecoocking

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Equivalence et série

Bonjour,

J'ai un petit soucis dans la résolution d'un exo. Je dois trouver un équivalent d'une suite (un) avec u0 = 1 et un+1 = ln(1+un) et (un) qui converge vers 0 en +infini. On doit utiliser le théorème suivant :

Si (an) une suite converge vers l un réel, alors la somme de i=1 jusqu'à n-1 de ai/n converge vers l.

On connait la limite en +infini de 1/un+1 - 1/un qui converge vers 1/2. On prend alors an = 1/un+1 - 1/un. Et je coince ici, 1/un est équivalent en +infinie à la somme de i =1 à n-1 de 1/ui+1 - 1/ui (déjà problème ici (un) définit positive et son équivalent est négatif). De plus si on utilise tout ça, on peut écrire 1/un*n est équivalent en +infinie à la somme de i=1 à n-1 de (1/ui+1 - 1/ui)/n et donc on final on trouve d'après le théorème que 1/un*n est équivalent l et donc 1/un équivalent à l*n où  je ne suis pas sûr de pouvoir faire cette équivalent (passer de 1/un*n à 1/un).

Si quelqu'un peut éclaircir ma lanterne ça m'aiderait beaucoup.

Roro

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Re : Equivalence et série

Bonjour,

Tu es sur une bonne piste si tu sais que $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{1}{u_{n+1}} - \frac{1}{u_n} = \frac{1}{2}$.

Comme tu l'as dit, tu appliques ton théorème (Césaro) avec la suite définie par $a_n=\frac{1}{u_{n+1}} - \frac{1}{u_n}$ et tu devrais en déduire un truc du style $\lim_{n\to +\infty} \frac{1}{nu_{n}} = \ell$.

Tu auras donc montré que $\lim_{n\to +\infty} nu_{n} = \frac{1}{\ell}$ ce qui devrait te donner l'équivalent cherché.

En gros, tu as les bonnes idées mais il faut bien les rédiger. Pas besoin de parler d'équivalent trop tôt...

Roro.

P.S. Si tu n'utilises pas l'écriture en latex, ton post est très difficile à décrypter. Par exemple un+1 est-il $u_n+1$ ou $u_{n+1}$...

Dernière modification par Roro (01-12-2023 21:58:06)

walterwhitecoocking

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Re : Equivalence et série

Bonjour,

Oui merci j'y vois plus clair mais pour la partie où on applique la théorème de Césaro, comment on passe de de la somme des an/n à la limite de un/n = l ? C'est cette partie là où j'arrive pas vraiment à comprendre on passe par quoi pour y arriver ?

PS : oui j'ai essayé mais je n'ai pas réussi :( ça garde tout mon code Latex sans le transformer je ne sais pas trop à quoi c'est due

Dernière modification par walterwhitecoocking (01-12-2023 17:11:10)

Roro

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Re : Equivalence et série

Bonjour,

comment on passe de de la somme des an/n à la limite de un/n = l ?

C'est une somme télescopique...

Roro.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Equivalence et série

Bonsoir,

PS : oui j'ai essayé mais je n'ai pas réussi :( ça garde tout mon code Latex sans le transformer je ne sais pas trop à quoi c'est dû

1. As-tu lu et appliqué ce qui est dit dans ce tuto code Latex ? 
2. Si oui, alors faisons un essai  : ouvre une Nouvelle discussion, tapes-y ton code et clique sur Prévisualisation. Je pourrai alors voir pourquoi
    ça ne marche pas  et t'aidera pour une prochaine fois...
    La première idée qui me vient : ta formule n'est pas encadrée par
    - un dollar (un avant et un après)
    - ou les balises $\text{[tex]}$ et $\text{[/tex]}$ : sélectionner la formule puis cliquer sur le 1er icône à gauche de la barre d'outils
      des messages.
Lorsqu'on aura réglé ça, on pourra supprimer cette discussion.

D'accord ?

@+

walterwhitecoocking

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Re : Equivalence et série

[tex]
On a $\frac{1}{u_n},\ =  \sum_{k=1}^n frac{1}{u_{i+1}}- frac{1}{u_{i}}\,=\frac{1}{u_{1}}+frac{1}{u_{n}} sauf que \frac{1}{u_{1}} est différent de 0 avec u_n qui tend vers 0 ..?

[/tex]

(Même soucis que tout à l'heure au niveau du latex je ne sais pas ce qui me manque pour que ça marche ...)

Zebulor

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Re : Equivalence et série

Bonsoir,

On a $\frac{1}{u_n},\ =  \sum_{k=1}^n \frac{1}{u_{i+1}}- \frac{1}{u_{i}}\,=\frac{1}{u_{1}}+\frac{1}{u_{n}}$ sauf que $\frac{1}{u_{1}}$ est différent de 0 avec u_n qui tend vers 0 ..?

Tu avais juste quelques tex en trop et il manquait \ devant des frac

yoshi

Modo Ferox

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Re : Equivalence et série

Re,

Je précise la pensée de Zebulor :
J'avais écrit :
encadrement de formule pare un dollar de chaque côté ou par les balises $\text{[tex]}$ et $\text{[/tex]}$ ...
En prime, même si tu n'avais pas utilisé les balises $\text{[tex]}$ et $\text{[/tex]}$, il manquait un dollar en fin de formule...

Fromage ou dessert, pas les deux...

@+

Roro

Membre expert

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Re : Equivalence et série

Bonsoir,

On a $\frac{1}{u_n},\ =  \sum_{k=1}^n \frac{1}{u_{i+1}}- \frac{1}{u_{i}}\,=\frac{1}{u_{1}}+\frac{1}{u_{n}}$ sauf que $\frac{1}{u_{1}}$ est différent de 0 avec u_n qui tend vers 0 ..?

oui, mais lorsque tu divises par $n$, le terme $\frac{1}{u_{1}}$ devient $\frac{1}{nu_{1}}$ et tend vers $0$...

J'ai modifié légèrement le post #2 car j'avais fait une coquille, mais qui ne change pas l'idée !

Roro.

Dernière modification par Roro (01-12-2023 21:59:27)