Une table remarquable

Pierre CAMI · 28-11-2023 14:19:59

Bonjour à toutes et tous

Les nombres de R sont tout les nombres impairs non multiple de 3 et par construction chaque nombre est présent une fois et une fois seulement colonne R.
Les nombres des colonnes S sont tout les nombres impairs et chaque nombre est présent une fois seulement dans une des colonnes S.
Par construction tout nombre d'une même ligne de S a pour premier successeur impair unique le même nombre de la même ligne de R.
Si on obtient un successeur y différant de 1, ce nombre se trouve une fois et une fois seulement dans une colonne des S et sur une ligne différente. Le successeur de y sera le R de la même ligne où on a trouvé y dans la table des S.
Comme chaque terme x d'une même ligne de rang >1 de S est unique et différent de y le terme de même ligne de R il n'existe que 2 possibilités:
- soit la suite de Collazt converge, et si c'est le cas elle ne peut que converger pour atteindre 1, puis le cycle trivial
- soit elle diverge
Il ne reste plus qu'a démontrer qu'une suite de Collatz ne peut pas diverger.
La fin de la démonstration viendra plus tard

Merci à toutes et tous

Pierre CAMI

Dernière modification par Pierre CAMI (28-11-2023 17:05:53)

Pierre CAMI · 28-11-2023 15:00:49

@DELEHAM
Bonjour
Merci de m'avoir prévenu que vous m'aviez cité.
Je vous donne mon mail et serai disposé à discuter si vous le voulez bien.
pierrecami_at_orange.fr
Bonne journée

Pierre CAMI

Dernière modification par yoshi (28-11-2023 15:08:12)

yoshi · 28-11-2023 15:10:08

Bonjour,

Donner son adresse mail en clair est un moyen très efficace de se faire spammer : j'ai donc corrigé a minima...

Cordialement,

Yoshi
- Modérateur -

bridgslam · 28-11-2023 15:22:17

Bonsoir,

Pierre CAMI a écrit :

Bonjour à toutes et tous
Si on choisi un nombre y d'une ligne quelconque de R tout les termes des S de la même ligne sont des impairs successeurs possibles de y à l'exception des nombres impairs divisibles par 3, et si on choisi y=1 on retrouve 1 et le cycle trivial 4,2,1.

Pourtant si je prends par exemple la ligne 6-17-11 ... la suite des impairs (en sautant les pairs intermédiaires) de graine 11 sera sauf erreur 11 ->17->13->...

Avec 13 qui est bien impair, on est arrivé sur une autre ligne de S.
Quelque chose m'échappe.

A.

Pierre CAMI · 28-11-2023 15:40:27

Bonsoir à toutes et tous

La fin de la démonstration
Si on part de 1 on obtient les prédécesseurs possibles de 1 ligne 1 des S: 1, 5, 21, 85, ....x, 4*x+1 .... ,cette suite est infinie et contient tous les impairs qui ont 1 comme premier successeur unique avant la répétition du cycle trivial.
A partir des nombres 5, 85, 341 .... non multiple de 3 on peut définir les nombres impairs qui aurons 1 comme deuxième successeur et ainsi de suit.
Comme on change de ligne à chaque fois routes les lignes seront parcourues, plusieurs lignes pouvant avoir le même nombre de successeurs avant d'atteindre 1.
Cette série d'opérations démontre que en partant de 1 la suite inverse de Collatz ne peut que diverger donc que la suite de Collatz converge toujours pour atteindre 1.
Ce qui est certain c'est que si on prend un nombre impair infiniment grand on n'aura jamais assez d'une vie même centenaire pour connaître tous les termes de la suite ce qui n'empêche pas de savoir qu'elle se terminera par1!
L'abstraction fait bien les choses.
D'autre part n'oubliez pas que la table des S est rangée dans l'ordre croissant en lignes et en colonnes.

Bonne fin de journée

Pierre CAMI · 28-11-2023 16:18:09

@Bridgslam

Effectivement c'était une erreur dans mon texte,je lai modifié , merci pour la remarque.

Si on choisi un nombre y quelconque de R tout les termes des S d'une même ligne sont des impairs successeurs possibles de y à l'exception des nombres impairs divisibles par 3, et si on choisi y=1 on retrouve 1 et le cycle trivial 4,2,1.

Donne fin de soirée

Pierre CAMI

bridgslam · 28-11-2023 16:43:46

Bonsoir,

Je quitte ce fil, désolé, rien n'est vraiment limpide dans votre argumentation, que vous êtes par ailleurs le seul
à qualifier de démonstration, au sens biblique du terme ( et les yeux de la foi qui vont avec).

Par ailleurs partir à l'attaque d'une conjecture réputée difficile (voire indécidable voir -> Conway ) en supputant
autour d'un tableau qu'il y a plus d'impairs que de pairs ( connu des Grecs pour enfoncer le clou !)
laisse présager d' un gros doute sur la suite de la "preuve".

Il n'est pas interdit de parcourir les divers posts de ce forum, tous sujets confondus,
pour vous imprégner de vraies démarches mathématiques, parfois jolies, mais toujours propres.
Si vos "recherches" vous en laissent le temps bien-sûr.

Bon courage
Bonne soirée

A.

Pierre CAMI · 28-11-2023 22:03:44

Bonne nuit à toutes et tous

Je fait pour ma part le post final de synthèse

La conjecture de Collatz est que toute suite de Collatz atteint 1 puis le cycle 4,2,1 se répète indéfiniment. On utilise uniquement les nombres entiers positifs non nuls. On part d'un nombre entier quelconque X(1).
La suite de Collatz est définie par les deux règles:
1- si le nombre est pair le nombre suivant X(i+1) = X(i)/2
2- si le nombre est impair le nombre suivant X(i+1) = 3*X(i)+1
Tout nombre d'une suite de Collatz ne dépend que de son prédécesseur.
En fait la règle 1- revient à écrire si le nombre est pair de la forme (2*n-1)*2^k on divise ce nombre par 2 k fois .

Tout nombre pair a un successeur impair unique, tout nombre impair a un successeur impair unique.
Tout nombre impair peut avoir un grand nombre d'ascendants impairs ou pairs.
Une suite de Collatz ne peut avoir qu’un seul terme impair multiple de 3 et c’est obligatoirement le premier terme impair de la suite, la divisibilité par 3 se perd dès la première application 3x+1.
Pour établir la preuve de la validité de la conjecture je construit ce que j’appelle la table de Collatz.
En première colonne N de la table on écrit la suite N des nombres entiers en commençant par 1 en première ligne et les lignes suivantes sont définies ainsi, on écrit le double du nombre impair, puis le nombre pair obtenu en ajoutant 2 au double du nombre impair puis le nombre impair obtenu en divisant le dernier nombre pair par 2 et on ajoute 1, on obtient la colonne N :
1
2
4
3
6
8
5
10
12
A partir des nombres de la colonne N on construit la colonne R telle que chaque terme de R de même ligne que N est égal à 3 fois le terme de N –2 si le terme de N est impair, -1 si le terme de N est pair. On obtient les deux premières colonnes :
1 1
2 5
4 11
3 7
6 19
8 23
5 13
10 29
12 35
A partir des colonnes N et R on va construire les colonnes S1, S2, S3, S4, … Sn de la façon suivante :
à chaque terme de même ligne, si x est le terme de R le terme de Sn est égal à (x*4^n-1)/3 si le terme de même ligne de N est impair, si le terme de N est pair le terme de Sn est égal à (x*2^(2*n-1)/3.
On obtient la table de collatz qui suit
1 1 1 5 21 85
2 5 3 13 53 213
4 11 7 29 117 469
3 7 9 37 149 597
6 17 11 45 181 725
8 23 15 61 245 981
5 13 17 69 277 1109
10 29 19 77 309 1237
12 35 23 93 373 1493
7 19 25 101 405 1621
14 41 27 109 437 1749
16 47 31 125 501 2005
9 25 33 133 533 2133
La table définie peut être étendue en lignes et en colonnes.
Les nombres de R sont tout les nombres impairs non multiple de 3 et par construction chaque nombre est présent une fois et une fois seulement colonne R.
Les nombres des colonnes S sont tout les nombres impairs et chaque nombre est présent une fois seulement dans une des colonnes S.
Par construction tous les nombres d’une même ligne de S ont tous pour successeur direct le même nombre de la même ligne de R.
Aucun nombre de R par construction n'est sur la même ligne qu'un nombre de S 1 excepté car c'est nécessaire pour la validité de la preuve.
Les nombres de R sont tout les nombres impairs non multiple de 3 et par construction chaque nombre est présent une fois et une fois seulement colonne R.
Les nombres des colonnes S sont tout les nombres impairs et chaque nombre est présent une fois seulement dans une des colonnes S.
Par construction tout nombre d'une même ligne de S a pour premier successeur impair unique le même nombre de la même ligne de R.
Si on obtient un successeur y différant de 1, ce nombre se trouve une fois et une fois seulement dans une colonne des S et sur une ligne différente. Le successeur de y sera le R de la même ligne où on a trouvé y dans la table des S.
Comme chaque terme x d'une même ligne de rang >1 de S est unique et différent de y le terme de même ligne de R il n'existe que 2 possibilités:
- soit la suite de Collazt converge, et si c'est le cas elle ne peut que converger vers 1
- soit elle diverge
Il ne reste plus qu'a démontrer qu'une suite de Collatz ne peut pas diverger.
Si on part de 1 dans l'ensemble des S on obtient les prédécesseurs possibles de 1 ligne 1 des S: 1, 5, 21, 85, ....x, 4*x+1 .... ,cette suite est infinie et contient tous les impairs prédécesseurs de 1 avant la répétition du cycle trivial 4, 2, 1 indéfiniment.
A partir des nombres 5, 85, 341 .... non multiple de 3 on peut définir les nombres impairs qui aurons 1 comme deuxième successeur impair et ainsi de suit.
Comme on change de ligne à chaque fois routes les lignes seront parcourues, plusieurs lignes pouvant avoir le même nombre de successeurs avant d'atteindre 1.
Cette série d'opérations démontre que en partant de 1 la suite inverse de Collatz ne peut que diverger donc que la suite de Collatz converge toujours pour atteindre 1.
Ce qui est certain c'est que si on prend un nombre impair infiniment grand on n'aura jamais assez d'une vie même centenaire pour connaître tous les termes de la suite ce qui n'empêche pas de savoir qu'elle se terminera par1!
L'abstraction fait bien les choses et surtout n’est pas accessible à tous en compréhension.
D'autre part n'oubliez pas que la table des S est rangée dans l'ordre croissant en lignes et en colonnes, ce qui peut aider à la comprhension.

Pierre CAMI

Dernière modification par Pierre CAMI (28-11-2023 22:24:53)

bridgslam · 29-11-2023 10:06:44

Bonjour ,

Allez une ultime tentative pour vous ramener à la raison.
Aux lignes :
- soit elle converge ... et c' est vers 1 forcément
- soit elle diverge...

Le premier point est bien la pierre d'achoppement de la question.
Vous n'avez jamais montré qu'on ne peut pas repasser
par une ligne autre que 1,1... au fil des passages par R, ligne peut-être déjà prise par la suite.
Par contre (cette fois un résultat sérieux, c'est un théorème), il est prouvé que si un tel autre cycle existe, sa longueur est supérieure à 17 000 milliards.
Dit autrement à cette heure vous n'avez absolument rien prouvé.

A.

Pierre CAMI · 29-11-2023 10:56:26

Bonjour à toutes et tous

bridgslam dit que je n'est pas prouvé qu'il pouvait exister un autre cycle que le cycle trivial si j'ai bien compris, ce qui est en partie vrai, j'ai fait confiance aux lecteurs en disant que aucun nombre impair de l'ensemble des S n'était sur la même ligne que R sauf 1, ce qui est la condition indispensable pour la convergence vers 1 puis le cycle trivial, mais aucun autre cycle n'est possible car on est obligé de changer de ligne à chaque nouvelle application de la règle et donc la seule possibilité restante est la possibilité d'une divergence.
AUCUN AUTRE CYCLE QUE LE CYCLE TRIVIAL NE PEUT EXISTER.

Bonne journée

Pierre CAMI

bridgslam · 29-11-2023 12:53:35

Bonjour ,

Merci pour vôtre réponse.

Hélas , vous avez inventé une nouvelle mathématique ( en partie vrai...), sauf erreur devant une assertion c'est binaire: vrai ou faux, jusqu'à nouvel ordre.
Par ailleurs ce que vous supposez pour vrai revient à l'affirmation de ce qui est justement à prouver...
Rien ne prouve (en sautant les pairs rencontrés) que vous ne tombiez pas sur un cycle R , R', R'' .... , R avec R différent de 1.
Cela ne m'a pas avancé le moins du monde sur cette conjecture,
mis à part trouver de la documentation annexe sur le sujet, très fournie, mais qui n'a à l'heure H rien permis de conclure.
Les avancées hors du champ probabiliste sont des preuves de conditions draconiennes que vérifierait la suite si la conjecture était fausse, comme celle que j'ai donnée.

Bon courage pour trouver une "preuve" plus convaincante.
En espérant que vous ne perdiez pas vôtre temps si elle est indécidable...

A.

Pierre CAMI · 29-11-2023 13:44:56

@bridgeslam

Re bonjour

Pourquoi Hélas vous avez inventé une nouvelle mathématique?
Je ne comprend rien à la deuxième affirmation " Par ailleurs ce...", vous avez inventé un nouveau langage mathématique?
Pour les suites R partant de y différent de 1 on va parcourir R', R'', R''', R''''...R'''''''''''' jusqu'a tomber sur le R suivant présent dans la ligne 1 et le R suivant sera 1 puis répétition du cycle trivial, sauf si la suite des R pouvai diverger, ce qui est impossible.
A nier l'évidence vous perdez toute crédibilité.

Bonne fin de journée

Pierre CAMI

bridgslam · 29-11-2023 13:57:48

Bonjour,

Toujours pareil: vous prenez pour acquis ce que vous voulez montrer...
Au risque de me répéter, qu' est-ce qui pourrait empêcher un retour au même R en cas de bouclage?
Rien selon votre démarche...
Je vous suggère d'explorer des arguments à la fois clairs et mathématiques.
Heureusement ça va de pair.

Bon a-m
A.

Pierre CAMI · 29-11-2023 14:14:44

Bonne après midi

bridgslam écrit:

Au risque de me répéter, qu' est-ce qui pourrait empêcher un retour au même R en cas de bouclage?

C'est sur que si il existe un autre bouclage possible je me suis trompé, mais j'ai fait des affirmations sur des résultats mathématiques qui montrent que tout bouclage est impossible hors le bouclage 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1 ..........
AUCUN AUTRE BOUCLAGE POSSIBLE et pas de divergence non plus.

Pierre CAMI

Dernière modification par Pierre CAMI (29-11-2023 14:23:31)

bridgslam · 29-11-2023 15:40:35

Pierre CAMI a écrit :

[...], mais j'ai fait des affirmations sur des résultats mathématiques qui montrent que tout bouclage est impossible hors le bouclage 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1 ..........

C'est là que le bât blesse, vous n'avez rien montré du tout( ou alors vous confondez affirmation et démonstration... ).
Si vous partez de la graine $10^{20} +1 $ en quoi vos résultats montrent-ils qu'un autre cycle a, b,....,z n'apparaîtra pas ?

Pierre CAMI a écrit :

AUCUN AUTRE BOUCLAGE POSSIBLE et pas de divergence non plus.
Pierre CAMI

Là vous ne faîtes que répéter la conjecture, on la connait...

Je quitte ce fil définitivement, guère qu'une seule affirmation arithmétique de vraie (niveau 3 ième ou seconde?) dans tout cela,
sans faire avancer le schmilblick... sur la conjecture elle-même.

Bon courage pour la médaille Fields.

A.

Pierre CAMI · 29-11-2023 16:29:16

Bonne après midi

bridgman refuse de comprendre que si on part d'un nombre entier positif non nul aussi grand que 1024*125648567^123456789123456789 on aura une suite de Collatz avec un très grand nombre d'étapes paires chacune suivie par une étape impaire unique qui donne un nombre impair non multiple de 3 et présent une fois et une fois seulement dans R et dans l'ensemble des S. On change obligatoirement de ligne à chaque fois et cela aussi longtemps qu'on ne rencontre pas un nombre R de la forme (4^n-1)/3 non multiple de 3 et n>1 à savoir 5, 85, 241....qui conduit au cycle trivial.
Il ne peut pas exister d'autre possibilité.
Pour le comprendre il faut simplement avoir le sens de l'abstraction puisque le calcul mental est casi impossible aves des grands nombres.

Pierre CAMI

Pierre CAMI · 29-11-2023 18:20:37

Bonsoir

D(autre part si on commence par 10^20+1 soit 100000000000000000001on obtient 5 après 180 fois l'opération 3x+1 et 352 divisions par 2.
Le début pour les nombres impairs:
100000000000000000001
75000000000000000001
56250000000000000001
42187500000000000001
31640625000000000001
23730468750000000001
17797851562500000001
13348388671875000001
10011291503906250001
7508468627929687501
et la fin:
211
317
119
179
269
101
19
29
11
17
13
5
J'ai donné les valeurs impaires, je peux fournir la totalité de la suite mais pas ici car 532 valeurs.

Pierre CAMI

Dernière modification par Pierre CAMI (29-11-2023 18:21:51)

bridgslam · 30-11-2023 11:18:48

Bonjour,

Cami ne peut comprendre que je ne demandais pas le calcul (qu'il devrait refaire si je proposais toutes autres graines... sans garantie ) mais la RAISON pour laquelle elle passe par le cycle 1 ...
Pour vous rattraper, Cami, (dernière chance), tentez de montrer que toute suite de Collatz passe obligatoirement sous sa graine d'origine, ce qui est équivalent à la conjecture (je vous laisse essayer de comprendre pourquoi dixit à mots couverts votre génie).
On ne peut pas vraiment dire que cette propriété très simple saute aux yeux d'après votre litanie en boucle !

Quant à dénigrer insidieusement vos interlocuteurs sur leur pouvoir d'abstraction, je renvoie les lecteurs sur sa "preuve" à partir de la table de Collatz ( subtile...)
qu'il y a plus d'impairs que de pairs...

Bonne continuation, moi j'abandonne avec ce personnage particulièrement pénible...

A.

yoshi · 30-11-2023 11:49:59

Bonjour,

Pierre Cami a écrit :

brigdgslam refuse de comprendre

Oh, mais c'est évident, sur ce forum, on ne rencontre que des participants qui refusent de comprendre...

Pierre Cami a écrit :

Pour le comprendre il faut simplement avoir le sens de l'abstraction puisque le calcul mental est quasi impossible avec des grands nombres.

Donc, bridgslam - et tous ceux qui s'acharnent à questionner - ne sont que des minus habens qui n'ont pas le sens de l'abstraction ?
Sympa quand même...

Pour ma part, j'ai une responsabilité ici, celle - en particulier - de veiller à la bonne atmosphère de ce forum et ce conformément à ce qui figure dans nos Règles dans son préambule :

L'objectif de BibM@th est de créer un lieu d'échange, d'entraide, d'information ouvert à tous. Les utilisateurs sont invités à faire de ce forum un moyen de communication convivial, ouvert.

Je souhaite donc vivement que ce type de rabaissement cesse.

Merci

Yoshi
- Modérateur -

Pierre CAMI · 30-11-2023 16:23:57

Bonjour à toutes et tous

Je m'excuse si j'ai oublié uns des règles du ce forum, ce n'était pas mon intention.
Comme je l'ai déjà dit ce n'est pas à mon âge que je vais essayer d'intimider ou de forcer quiconque à me croire.
Mes quatre années d'enseignant dans une école d'ingénieurs m'on appris qu'on ne peut pas convaincre son interlocuteur si on ne fait pas soi même l'effort de chercher et de trouver les arguments nécessaires pour convaincre.
Je reçois des boulets quand je dis qu'il y a plus de nombres pairs que de nombres impairs alors que pour un seul nombre impair quel qu'il soit il existe une infinité de nombre pairs différents obtenus en multipliant x impair par 2 puis 4 puis 8 jusqu'à 2^n.
De la même façon il existe une infinité de nombres premiers impairs et un seul nombre premier pair.
Cela dit je vais pour la dernière fois essayer de convaincre que si on par d'un nombre impair quelconque positif, entier, et non nul on va générer une suite de Collatz dont les règles sont censées être connues. Les étapes paires ne peuvent que réduire la grandeur du nombre impair source dans la plus part des cas puisqu'il y a plus de nombres pairs divisibles par 4,8,16,32, etc que de nombres pairs divisibles uniquement par 2.
Pour simplifier le raisonnement sans en modifier le sens on part d'un nombre impair non multiple de 3 appelé G.
Ce nombre G se trouve une fois et une seule fois dans une des colonnes S sur une ligne Lx et ne peut jamais être égal au nombre R de la même ligne sauf 1 qui conduit au cycle trivial.
De G on obtient y le terme de R de même ligne que la ligne où on a trouvé G, ce y devient le nouveau G différent du G initial et on continu la suite en changeant obligatoirement de ligne à chaque fois jusqu'à obtenir un G de la forme (4n-1)/3 non multiple de 3 qui sont 5, 85, 341, 5561, etc qui sont en nombre infini.

Merci pour la lecture

Pierre CAMI

Dernière modification par Pierre CAMI (30-11-2023 17:16:23)

DELEHAM · 30-11-2023 19:14:54

Bonjour,
la suite 5, 85, 341, 5461, ... est A198586 dans O.E.I.S :
A198586 a(n) = (4^A001651(n+1) - 1)/3: numbers (4^k-1)/3 for k > 1, not multiples of 3. +30
5
5, 85, 341, 5461, 21845, 349525, 1398101, 22369621, 89478485, 1431655765, 5726623061, 91625968981, 366503875925, 5864062014805, 23456248059221, 375299968947541, 1501199875790165, 24019198012642645, 96076792050570581, 1537228672809129301,...
Bien cordialement.
Philippe

Pierre CAMI · 30-11-2023 21:38:54

Bonne nuit à toutes et tous

Pour finir en beauté on crée une table des nombres entiers positifs non nul à trois dimensions, la table des S est la table de base sur laquelle on pose la table des doubles de S, sur laquelle on pose la table des S chaque terme multiplié par 4, puis la table des S chaque terme multiplié par 8, et ainsi de suite.
On obtient la table de Collatz à trois dimensions qui montre bien l'infinité des nombres pairs qui occupent la presque totalité de la table quand les nombres impairs sont présents uniquement dans le seul plan des S impairs.
On a une infinité de nombres premiers, on a une infinité de nombres impairs, on a une infinité de nombres pairs mais on a infiniment moins de nombres premiers que de nombres impairs et infiniment moins de nombres impairs que de nombres pairs car paradoxe le seul nombre premier pair est 2 le plus petit nombre premier.
Merci EUCLIDE.

A plus si vous le voulez bien

Pierre CAMI

Dernière modification par Pierre CAMI (30-11-2023 21:43:48)

Matou · 01-12-2023 13:54:34

Bonjour à tous,

Il y a peut-être des jeunes qui lisent ce fil.

Donc, il est bon de rétablir une vérité simple, une bonne fois pour toute.
Il existe une bijection très simple entre l'ensemble des nombres pairs et celui des nombres impairs.
Appelons $P$ l'ensemble des nombres pairs et $I$ l'ensemble des impairs.
$P = \{ a \in \mathbb{N} | \exists n \in \mathbb{N}, a =2n\}$

Matou · 01-12-2023 14:07:24

Désolé, je me suis trompé de bouton...

Appelons $P$ l'ensemble des nombres pairs et $I$ l'ensemble des impairs.
$P = \{ a \in \mathbb{N} | \exists n \in \mathbb{N}, a =2n\}$
Et
$I = \{ b \in \mathbb{N} | \exists n \in \mathbb{N}, b =2n+1\}$

La bijection évoquée ci dessus consiste à mettre en relation un élément $a$ de $P$ avec $b=a+1$ de $I$.

Il y a donc autant de pairs que d'impairs.

Le reste n'est que fariboles et billevesées.

Cordialement

Matou

Matou · 01-12-2023 14:09:29

Décidément....

$I = \{ b \in \mathbb{N} | \exists n \in \mathbb{N}, b =2n+1\}$

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#51 28-11-2023 14:19:59

Re : Une table remarquable

#52 28-11-2023 15:00:49

Re : Une table remarquable

#53 28-11-2023 15:10:08

Re : Une table remarquable

#54 28-11-2023 15:22:17

Re : Une table remarquable

#55 28-11-2023 15:40:27

Re : Une table remarquable

#56 28-11-2023 16:18:09

Re : Une table remarquable

#57 28-11-2023 16:43:46

Re : Une table remarquable

#58 28-11-2023 22:03:44

Re : Une table remarquable

#59 29-11-2023 10:06:44

Re : Une table remarquable

#60 29-11-2023 10:56:26

Re : Une table remarquable

#61 29-11-2023 12:53:35

Re : Une table remarquable

#62 29-11-2023 13:44:56

Re : Une table remarquable

#63 29-11-2023 13:57:48

Re : Une table remarquable

#64 29-11-2023 14:14:44

Re : Une table remarquable

#65 29-11-2023 15:40:35

Re : Une table remarquable

#66 29-11-2023 16:29:16

Re : Une table remarquable

#67 29-11-2023 18:20:37

Re : Une table remarquable

#68 30-11-2023 11:18:48

Re : Une table remarquable

#69 30-11-2023 11:49:59

Re : Une table remarquable

#70 30-11-2023 16:23:57

Re : Une table remarquable

#71 30-11-2023 19:14:54

Re : Une table remarquable

#72 30-11-2023 21:38:54

Re : Une table remarquable

#73 01-12-2023 13:54:34

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#74 01-12-2023 14:07:24

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#75 01-12-2023 14:09:29

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