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Marvin007

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Messages : 25

Plus petit diviseur démonstrations

Bonjour, j'essai de résoudre l'exercice 2 à partir du 1, quelqu'un pourrait-il corrigé mes réponses svp?

Exo 1 :soit n un nombre non premier et d le plus petit diviseur premier de n .on suppose qu'il existe un entier ď qui divise d. démontrer que ď divise aussi n.

Exo  2 :Soit n un nombre entier qui n'est pas premier. Il existe
au moins un diviseur de n autre que 1 et n (sinon n
serait premier). Soit donc d le plus petit diviseur de n
autre que 1.

1. Pourquoi existe-t-il un diviseur de n autre que n et 1?
2.Démontrer que d est premier en utilisant un raisonnement
par I'absurde et I'exercice précédent.

3. Démontrer que racine de n >d.

Mes réponses :
Exo 1:
Si d' divise d, alors il existe k' tel que d= d'k'. De même si d divise n alors il existe k tel que n = kd.
d'ou n = kk'd'.

Exo 2: n est un entier non premier donc il a admet + de 2 diviseur (1, n et un ou plusieurs autre nombres).
Si n n'admettait que deux diviseur il serai premier, or c'est pas le cas.

2)On sait que d est le plus petit diviseur de n(hormis 1) donc on suppose que d n'est pas premier.
Ce qui implique que il existe d' tel que d' divise d (d = k'd').
Supposer qu'il existe d'  qui divise d est une contradiction car d est le plus petit diviseur, il n'y a pas plus petit que d.
Par conséquent d est premier.

3) Je ne sais pas

Victor_003

Invité

Re : Plus petit diviseur démonstrations

Bonjour !
L'exo 1) est bon, de même que le 2.1) et 2.2).
Pour la question 2.3), je suppose que c'est plutôt [tex]d <= \sqrt{n}[/tex] (parce que si [tex]n = 9[/tex] par exemple l'inégalité stricte est fausse).
Dans ce cas, le raisonnement que je te propose d'établir est le suivant : si [tex]n[/tex] n'est pas premier, alors [tex]d[/tex] étant son plus petit diviseur premier, que se passerait-il si [tex]d > \sqrt{n}[/tex] ? Je t'invite alors à remarquer que [tex]d[/tex] n'est pas le seul diviseur de [tex]n[/tex] (différent de 1 ou n), et à tirer parti de sa minimalité.
N'hésite pas si tu bloques.
Victor