Enigme : 100 coffres pour 100 mathématiciens

Barbichu · 09-08-2008 17:27:29

Bonjour,
pour compenser mon hyperactivité au niveau des énigmes ces temps-ci, à mon tour de vous en poser.

Dans un petit pays, un tyran décide d'emprisonner ses 100 mathématiciens dans une cellule, il leur attribue alors à chacun un numéro entre 1 et 100, tous différents.
Il leur propose alors un défi pour rester en vie. Dans une salle à l'autre bout de la prison, il dispose 100 coffres, dans lesquels sont contenus des numéros de 1 à 100, à raison d'un seul par coffre et tel que tout numéro se trouve dans un coffre.
Les mathématiciens passeront chacun leur tour dans la salle des coffres et ils auront 50 essais chacun pour trouver leur numéro. Lorsqu'un mathématicien trouve son numéro, il va dans une nouvelle cellule en attendant que les autres passent, sans aucun moyen de communication avec eux, mais s'il ne le trouve pas, alors tous les mathématiciens seront exécutés.
(NB : ils n'ont pas le droit de laisser les coffres ouverts, ni de déplacer les numéros, ni de mettre des annotations, où que ce soit)
Ils ont la nuit pour trouver une stratégie qui leur donnera le plus de chances de survie.

* En supposant que la distribution des numéros dans les coffres soit tirée de manière équiprobable, trouver une stratégie qui donne au mathématiciens plus de 30% de chances de survie.
* Si on ne suppose plus cette distribution uniforme, que faire ?
Bonne chance
++

Dernière modification par Barbichu (09-08-2008 17:29:13)

yoshi · 09-08-2008 18:09:30

Re,

Chacun, laisse le le numéro, que ce soit le bon ou non, dans le coffre ?
Si oui, c'est équivalent à du tirage sans remise quand même (dans le cas des pbs de boules), non ?

Personne ne sait qui a trouvé ? ni combien ont trouvé ?
Si oui aux deux questions, la probabilité d'ouvrir le bon coffre devrait être donc la même pour chacun...

Bon, ça ne m'avance pas bcp, mais je fais un effort !

@+

Si John passait par là, il sauterait dessus avec délectation...

Barbichu · 09-08-2008 18:14:33

Re,
Il y a un seul numéro dans chaque coffre, et chaque mathématicien a accès aux 100 coffres, mais il ne peut regarder que dans 50 d'entre eux. Donc ça se rapproche d'un tirage sans remise puisqu'il suffit de ne pas regarder deux fois dans le même coffre ...
Les mathématiciens sont pris dans l'ordre (ou dans un ordre quelconque, ça ne change rien), donc tous les mathématiciens restants savent (ou en tout cas, peuvent supposer) que les précédents ont trouvés leur propre numéro, sinon ils seraient tous morts ;)
++

Dernière modification par Barbichu (09-08-2008 18:16:17)

yoshi · 09-08-2008 18:31:46

Re,

J'avais zappé le fait le fait que, le n° trouvé, le mathématicien rejoint la fameuse salle, sinon couic !
Bon, je présume que ceux qui n'ont encore pas tenté leur chance, ne savent pas combien de leurs prédécesseurs ont réussi l'épreuve...
Si oui, alors ceci n'est qu'un épiphénomène, et ceci n'aidera pas (que certains ont réussi leur coup) chacun de ceux qui vont passer...

@+

Barbichu · 20-08-2008 18:33:01

Re,
Tu as arrété de chercher ça aussi yoshi ?
(Je n'avais pas vu ta réponse, à laquelle je m'empresse de répondre :

yoshi a écrit :

Bon, je présume que ceux qui n'ont encore pas tenté leur chance, ne savent pas combien de leurs prédécesseurs ont réussi l'épreuve...
Si oui, alors ceci n'est qu'un épiphénomène, et ceci n'aidera pas (que certains ont réussi leur coup) chacun de ceux qui vont passer...

Mais non !
J'ai dit : si un seul échoue, tous les mathématiciens meurent.
Donc tant qu'ils sont encore vivants, ils savent que tout le monde à réussi.
++

Golgup · 28-08-2008 14:05:20

Bonjour,

mais s'il ne le trouve pas, alors tous les mathématiciens seront exécutés.

Ce ne serait pas plutot "mais s'il ne le trouve pas, alors tous les mathématiciens aprés lui, seront exécutés.

Dans ton cas, c'est soit tous les mathématicien trouvent leurs numéros et ils sont tous sauvé, soit, il suffit d'un seul malchançeux, pour les tués tous, donc soit 0 soit 100. Non?

yoshi · 28-08-2008 15:44:21

Bonjour,

Barbichu, je ne t'avais pas vu ta réponse, non plus ;-)...
Hélas, dès qu'il s'agit de probabilités, je suis complètement nul et ça me défrise à un point pas possible (jamais étudié ça en Math Elem, juste un peu d'analyse combinatoire...).
J'aimerais bien trouver un cours clair précis, qui ne se contente pas de dire, voilà la réponse, c'est comme ça et pas autrement, mais bien plutît qui détaille la démarche de pensée qui a conduit à la solution.

Donc, oui, dès qu'il y a le mot "probabilités", il est inutile que je cherche...

@+

Golgup · 30-08-2008 10:34:11

Salut,

Alors Barbichu, remarque juste ou remarque fausse? Parceque, comme je l'ai dit, soit tous le monde meurt, soit tous le monde vit et il ne peut y avoir d'intermediaire (ici superieur à 30 personnes et inférieur à 100.)

++

Csurementbetemais · 05-09-2008 12:52:11

Ma reponse et surement bete mais.

disons que le premier mathematiciens ouvre les 50 premiers coffre dans l ordre.
en comptant 10min d interval (s'ils estimes qu'il faut moins de 10 min pour acceder a la salle des coffres donc au premiers coffre) par coffre alors il a 50% de chance de trouver.

le second mathematiciens lui fait de meme mis a par qu il n ouvre pas le coffre de son predecesseur le 5eme si le premier mathematiciens a passe 50min dans la salle.
donc il a lui un peu plus d'une chance sur deux de rester en vie.

et ainsi de suite le 3eme mathematiciens n ouvre pas non plus le coffre du premier mathematiciens ni du 2eme etc...........................

se qui acroit leur chance de passage en passage .
ps : si il n ont pas de montre il peuvent compter les secondes dans leur tetes c est
un peu casse tete mais pour rester en vie je suis sur qu ils en sont capable.

Golgup · 05-09-2008 17:05:23

Salut,

Tu passes du premier au second mathématicien sans supposer que le premier mathématicien n'a peut être pas trouver son numéro. De plus;

le second mathematiciens lui fait de meme mis a par qu il n ouvre pas le coffre de son predecesseur

=>

Le poseur d'énigme a écrit :

Lorsqu'un mathématicien trouve son numéro, il va dans une nouvelle cellule en attendant que les autres passent, sans aucun moyen de communication avec eux

Comment veux tu savoir quel coffre appartient au mathématicien "d'avant"? Avec en plus;

Le poseur d'énigme a écrit :

(NB : ils n'ont pas le droit de laisser les coffres ouverts, ni de déplacer les numéros, ni de mettre des annotations, où que ce soit)

@+

PS: Pourquoi cette idée de 10 minutes d'intervale entre l'ouverture des coffres?

Dernière modification par Golgup (05-09-2008 17:12:47)

Csurementbetemais · 05-09-2008 18:05:02

ok Golgup voila un peu d explication:

Pourquoi cette idée de 10 minutes d'intervale entre l'ouverture des coffres?

pour savoir lequel des coffres il est inutille d ouvrir car il contenait le numero du
premier mathematicien(et des dix premier pour le 11eme par example).

s il y passe 20 min dans la salle le deuxieme coffre contient le bon numero.
30 le troisieme
40 le quatrieme
etc

bien sur il faut pouvoir voir les mathematiciens ressortir

Tu passes du premier au second mathématicien sans supposer que le premier mathématicien n'a peut être pas trouver son numéro.

oui car rien ne peu permettre au premier mathematicien de trouver le bon
coffre a part d avoir un peu de chance c'est ecrit dans la question:

plus de 30% de chances de survie.

ok le poseur d enigme a ecrit:
(NB : ils n'ont pas le droit de laisser les coffres ouverts, ni de déplacer les numéros, ni de mettre des annotations, où que ce soit)

mais les mathematiciens dans la salle ne font rien de tel
se sont les mathematiciens qui ne sont pas encore passe qui deduisent en fonction du temp passe dans cette salle par leurs collegues quel etait le coffre qui contienait leur numero.

Golgup · 05-09-2008 19:52:36

Re,

C'est bien pensé!

Mais,

oui car rien ne peu permettre au premier mathematicien de trouver le bon
coffre a part d avoir un peu de chance c'est ecrit dans la question:
plus de 30% de chances de survie.

Non, car là, tu parles pour la peau d'un seul mathématicien.

Départ mathématiciens: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10...51...73...100
Coffres restant à voir: 100 99 98 97 96 95 94 93 92 91...50...28.....1
Coffres non-vus: 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41....0....0......0

On voit donc que c'est a partir du 51 eme mathématicien que les 49 autres mathématiciens restant ont 100% de chance de trouver leurs numéros réspéctifs(puisque à partir du 51eme, il leurs reste moin de coffres à voir que se qu'il leur est accordé, soit 50 coffres.) Il faut effectivement compter sur la chance croissante des 50 premiers mathématiciens(cette chance qui grandit, OUI mais pour le cas des mathématiciens pris 1 par 1 et non pas pour le groupe.), pour arrivé à un "niveau" de sureté, ou 100% des mathématiciens seront sauvé.

Bref, pour moi cette énigme n'est pas résolvable du moment qu'elle fait appel au hasard.

@+

Dernière modification par Golgup (05-09-2008 23:12:19)

yoshi · 05-09-2008 19:58:56

Bonsoir,

La minuterie... Pas bête, y a peut-être quelque chose à creuser.
Alors les 100 condamnés, ont tout intérêt à poser les règles avant de se lancer :
1. On ne commence pas avant 10 min,
2. L'exploration de chaque coffre devra prendre, par ex, 1 min.

Cela dit, je ne suis pas sûr qu'au bout du 50e coffre, il n'y ait pas un écart significatif, ce qui risque de fausser l'opération.
En outre, là on suppose que les coffres sont tous alignés contre un mur au fond de la salle : si leur répartition est aléatoire, les mecs sont mal...

Enfin, tu choisis une exploration séquentielle. Avec cette méthode ça paraît indispensable, sauf à se mettre d'accord avant : 1/2 puis 1/3, puis 1/4 en évitant les multiples et en revenant au point de départ si on dépasse 100...
Le suivant décalerait pour ne pas retomber sur le n° trouvé par son prédécesseur : mais là, gare la migraine...
Ca vaut toujours mieux qu'avoir la tête reposée (dixit Louis XVI.. En effet, au moment suprême, il avait quelque chose à dire. Et le bourreau aurait répondu : j'ai pas le temps maintenant, mais je veux bien tout à l'heure, à tête reposée ! Bon, ok ! Je sors...)

@+

Barbichu · 05-09-2008 21:31:44

Salut à tous,
je vous arrête tout de suite, il n'est pas question de temporiser ! Vous ne connaissez même pas le temps de faire le chemin qui peut même dépendre de la vélocité des gardes et du mathématicien. Et puis à la fin de la journée, ça ne m'étonnerait pas que les gardes soient fatigués, à moins qu'ils ne soient renouvelés bien sûr ... Et puis, ils peuvent très bien prendre leur pause café n'importe quand ...
Bref, rien n'est plus incertain que le temps dans cette énigme, vous ne pouvez pas l'utiliser.
++

Csurementbetemais · 05-09-2008 21:37:05

pour Golgup:

tu dit : " pour arrivé à un "niveau" de sureté, ou 100% des mathématiciens seront sauvé"

mais l enonce de la question dit :,
trouver une stratégie qui donne au mathématiciens plus de 30% de chances de survie.
pour la globalite

pour yoshi :
tu dit :
"Cela dit, je ne suis pas sûr qu'au bout du 50e coffre, il n'y ait pas un écart significatif, ce qui risque de fausser l'opération."

comment sa je ne comprend pas mais pour etre clair
le premier mathematiciens ouvre les coffres de 1 a 50 .
(disons le premier et au fond a gauche 2eme a droite du premier et ainsi de suite
et s il ne sont pas aligner dans le sens de lecture du francais ou du chinois peu importe tant que tout le monde les ouvrent dans le meme ordre)

donc le deuxieme les ouvrent de 1 a 51 sans ouvrir le coffre du premier
pareil pour le troisieme de 1 a 52 sans ouvrir les deux trouver par les 2 premier matheux
le dernier mathematiciens n'a qu un seul coffre a ouvrir qui contiendrat forcement sont numero.

il leur suffit juste d avoir un peu de memoire et de rigeur.

Csurementbetemais · 05-09-2008 21:49:39

desole Barbichu j etais en train d ecrire lorsque tu as poste ton message

sinon deuxieme proposition
les mathematiciens qui on des chiffre pair ouvre tous les code pair cad le 2em le 4em
et
et les mathematiciens ayant des numero impair ouvrent les coffre impair.

Golgup · 05-09-2008 22:52:53

Re,

Bien joué!!, reste plus qu'à soigner.....la syntaxe,la sémantique(code ou coffre?) et la présentation.. Encore un fois bravo pour cette réponse du cas de distribution des nombres dans l'ordre.

@++

Dernière modification par Golgup (05-09-2008 22:53:49)

Barbichu · 06-09-2008 00:50:24

Hello,
désolé je me rend compte d'une faute de français qui aurait pû vous gêner "trouver une stratégie qui donne aux mathématiciens plus de 30% de chances de survie." (Je rappelle encore que le sort de tous les mathématiciens est le même)
Ensuite, non, tes stratégies ne sont pas valables Csurementbetemais car :
* La première vient en contradiction avec "(NB : ils n'ont pas le droit de laisser les coffres ouverts, ni de déplacer les numéros, ni de mettre des annotations, où que ce soit)". Cela signifie entre autre que les mathématiciens n'ont aucune idée du coffre dans lequel se trouvait le numéro de leur prédécesseur (ou n'importe qui d'autre)
* La deuxième donne un pourcentage de survie bien inférieur à 30%. (Avec cette stratégie, les mathématiciens gagnent 50!*50! fois sur 100! ce qui est ridiculement petit)

Je précise un point qui semble vous chagriner : on considère que les coffres ne seront pas mélangés d'une visite à l'autre. On peut donc bien les numéroter de la même façon pour tout le monde.
++

Dernière modification par Barbichu (06-09-2008 00:50:41)

Csurementbetemais · 06-09-2008 09:30:22

ok c bon j arrette de dire des betise
donc troisieme et derniere tentative :

les mathematiciens ouvre en premier le coffre qui porte leur numero(supposont qu ils
les numerote de la facon qui leur fait plaisir)
ensuite le coffre qui porte le numero contenu dans le premier coffre ouvert et ainsi de
suite s'il tombe dans une boucle infinie il passe au premier coffre qu il na pas encore ouvert

Si on ne suppose plus cette distribution uniforme, que faire ?

si on supposse que cette distribution est uniforme je suppose que les mathematiciens
(qui ont envie de vivre) vont rapidement sans rendre compte et se raviser pour ouvrir directement le bon coffre
desole pour les fautes

yoshi · 06-09-2008 10:26:44

Bonjour,

Barbichu a écrit :

Si on ne suppose plus cette distribution uniforme, que faire ?

Qu'entends-tu par uniforme ? Puis non uniforme ?
Parce que notre invité du post ci-dessus a l'air de vouloir dire que les nos sont placés dans les coffres dans l'ordre croissant ou décroissant (à partir d'un coffre donné bien sûr)
...

@+

Golgup · 07-09-2008 21:29:14

Bonsoir,

Je repose encore ma question, il faut que je sache :

Est se que c'est bien: s'il ne le trouve pas alors tous les mathématiciens seront éxécutés.

Où bien: s'il ne le trouve pas alors tous les mathématiciens aprés lui, seront éxécutés.

Vous êtes d'accord que pour la proposition 1, il ne peut pas y avoir un nombre de mathématiciens sauvé supèrieur á 1 et inférieur á 100? Où bien c'est moi qui m'emmêle lamentablement les pinceaux? (voir #6)

Salut

yoshi · 07-09-2008 23:37:15

Bonsoir Golgup,

(#1)

Barbichu a écrit :

mais s'il ne le trouve pas, alors tous les mathématiciens seront exécutés

(#5)

Barbichu a écrit :

J'ai dit : si un seul échoue, tous les mathématiciens meurent.
Donc tant qu'ils sont encore vivants, ils savent que tout le monde à réussi.

(#18)

Barbichu a écrit :

Je rappelle encore que le sort de tous les mathématiciens est le même

Il me semble maintenant que c'est bien clair...

Quant à ta proposition #6, la réponse est non.
L'énigme de Barbichu consiste à mettre au point la stratégie leur donnant plus 30% de chances de réussir, c'est à dire d'être tous sauvés.
Il y aura donc, soit 100 morts, soit 100 vivants.

@+

Golgup · 08-09-2008 05:46:53

Bonjour,

Pourquoi se compliquer la vie à dire "plus de 30%" dans ce cas autant dir, "100%".
Et tu dis qu'il y aura donc soit 100 morts soit 100 vivants. Ce qui me semble être synonyme de "soit 0 vivants soit 100 vivant"?! (#6)

@+

yoshi · 08-09-2008 08:14:36

Bonjour,

Ok pour le #6. Je ne sais pas ce que j'avais lu : il ne faut plus que j'écrive à ces heures-là, ça ne me réussit pas ;-)

Mais tu ne sembles pas faire la différence entre 100% de vivants et plus de 30 % de chances d'être tous vivants = 100 % de chances = certitude absolue, avant de commencer l'épreuve, de tous réussir.

Au loto, "100 % des gagnants ont tenté leur chance", dit leur pub. Pourtant cela représente quand même seulement un tout petit pourcentage du nombre total de joueurs, et "100 % des perdants ont tenté leur chance" aussi.

Ce sont des probabilités. Si tu jettes une pièce de monnaie en l'air, en lui imprimant un mouvement de rotation, tu n'as pas la certitude absolue (100 % de chances) que la pièce retombe sur Pile (par ex), mais 50% (en admettant qu'elle ne puisse pas rester sur la tranche".
Si tu décides de lancer la pièce en l'air 10 fois de suite et que tu prends le pari (avant de commencer) que tu vas réussir 10 fois de suite "Pile" (ou "Face"), tu as une chance sur 2^10 = 1024 de gagner.
Ok ?

@+

Golgup · 08-09-2008 20:16:42

Salut,

AAAHH! ouais je vois!
En fait, plus de 30% de chances n'offre pas la certitude qu'ils seront tous sauvés. Désolé!
J'avais compris "qui donne plus de 30% de mathématicien sauvés" ce qui ètait impossible!
Là, c'est plus dur..

Merci yoshi pour l'eclaircissement!

++

Ps: pourquoi tu donnes plus d'énigmes ces temps ci?

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 09-08-2008 17:27:29

Enigme : 100 coffres pour 100 mathématiciens

#2 09-08-2008 18:09:30

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#3 09-08-2008 18:14:33

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#4 09-08-2008 18:31:46

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#5 20-08-2008 18:33:01

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#6 28-08-2008 14:05:20

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#7 28-08-2008 15:44:21

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#8 30-08-2008 10:34:11

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#9 05-09-2008 12:52:11

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#10 05-09-2008 17:05:23

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#11 05-09-2008 18:05:02

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#12 05-09-2008 19:52:36

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