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topsi

Invité

Exercice de probabilité

Bonjour tout le monde,

Je suis en train de travailler une epreuve de maths et je bloque sur l'exercice de probabilités, le voici:

Un sac content six boules noires, trois boules vertes et une boule rouge indiscernables au toucher. On tire au hazard et simultanément deux boules.
1) Calculer la probabilité de tirer deux boules de même couleur.
2) Calculer la probabilité de tirer au moins une boule verte.
3) Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage de deux boules, associe (+2) si les deux boules sont de même couleur et (-2) si les deux boules sont de couleurs différentes.
Déterminer la loi de probabilité de X.
4) On recommence trois fois la même épreuve, en notant à chaque fois la valeur de X obtenue et en remettant les deux boules dans le sac après chaque tirage.
Soit Y la variable aléatoire égale à la somme des trois valeurs obtenues par X.
a)Déterminer la loi de probabilité de Y.
b)Calculer l'espérance mathématique de Y.
c) Déterminer la fonction de répartition de Y.

Voici ce que j'ai pu faire:

1) Notons A " Les deux boules tirées sont de même couleur" . Donc [tex]A=\lbrace N\text{ , }N\rbrace \text{ ou }\lbrace V\text{ , }V\rbrace[/tex]
[tex]p(A)=\dfrac{ {6\choose 2 }+ {3\choose 2 }}{45}=\dfrac{15+3}{45}=\dfrac{2}{5} \Longrightarrow \boxed{p(A)=\dfrac{2}{5}}[/tex]
2) Notons B: "Au moins une des deux boules tirées est verte" . Donc [tex]B=\lbrace V\text{ , }N\rbrace\text{ ou }\lbrace V\text{ , }R\rbrace\text{ ou }\lbrace V\text{ , }V\rbrace[/tex]
[tex]p(B)=\dfrac{ {3\choose 1 } {6\choose 1 }+{3\choose 1 } {1\choose 1 }+{3\choose 2 } }{45}=\dfrac{3\times 6 +3\times 1+3}{45}=\dfrac{24}{45}=\dfrac{8}{15} \Longrightarrow \boxed{p(B)=\dfrac{8}{15}}[/tex]
3) Les valeurs prises par [tex]X[/tex] sont : [tex]-2\text{ et }+2[/tex]
Si [tex]X=-2[/tex], alors les deux boules tirées sont de couleurs différentes, c'est-à-dire: [tex]\lbrace V\text{ , }N\rbrace\text{ ou }\lbrace V\text{ , }R\rbrace\text{ ou }\lbrace N\text{ , }R\rbrace [/tex]
[tex]\text{Il s'ensuit alors que: }P(X=-2)=\dfrac{{3\choose 1}{6\choose 1}+{3\choose 1}{1\choose 1}+{6\choose 1}{1\choose 1}}{45}=\dfrac{3\times 6+3\times 1+6\times 1}{45}=\dfrac{18+3+6}{45}=\dfrac{27}{45}=\dfrac{3}{5}[/tex]
Si [tex]X=2[/tex] , alors les deux boules tirées sont de même couleur, d'où: [tex]P(X=2)=p(A)=\dfrac{2}{5}[/tex]
Vérification : [tex]p(X=-2)+p(X=2)=\dfrac{3+2}{5}=\dfrac{5}{5}=1[/tex]
Et on remplit le tableau :
[tex]\begin{array}{|c|c|c|}\hline x_i&-2&2\\\hline   &  &\\   p(X=x_i) & \dfrac{3}{5}&\dfrac{2}{5}\\   &  &\\ \hline   \end{array}[/tex]

Je bloque sur la 4-a) , je sais que Y peut prendre les valeurs suivantes: -6;-2;2;6 , mais j'ai du mal à voir comment calculer les probabilités correspondantes. pouvez-vous m'aider? Merci!

Black Jack

Membre

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Re : Exercice de probabilité

Bonjour,

Pour la question 3, ta réponse est inutilement compliquée.

Par la question 1 ... on trouve directement P(2) = 2/5

Et donc P(-2) = 1 - 2/5 = 3/5

Pour la question 4a, une manière simple est de faire 1 arbre

Cela fait, on peut répondre rapidement à l'ensemble des questions 4.

topsi

Invité

Re : Exercice de probabilité

Bonjour Black Jack,

Merci pour votre réponse.

Pour la 3) oui c'est vrai, vous avez raison, je n'y avais pas pensé, merci! 

Pour la 4), il me faut justement la 4-a), la 4-b) et c) je saurai les faire une fois 4-a) trouvée :)

La variable aléatoire Y me pose vraiment problème, elle dépend de X, alors je pense que l'arbre est en fonction de X et non pas en fonction des boules, je propose alors :

C'est bien cette arbre qu'il faut utiliser?

Fred

Administrateur

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Re : Exercice de probabilité

Bonjour,

  Je prends le relais de Black Jack! Oui ça me semble bien parti, il te faut encore inscrire les probabilités sur chaque branche, puis repérer à chaque feuille de l'arbre quelles sont les valeurs prises par Y.

F.

topsi

Invité

Re : Exercice de probabilité

Bonjour Fred,

Merci d'avoir pris le relais :)

Je complète l'arbre comme vous avez indiqué, j'obtiens:

Je calcule les probabilités:

[tex]P(Y=-6)=\left(\dfrac{3}{5}\right)^3=\dfrac{27}{125}[/tex]
[tex]P(Y=6)=\left(\dfrac{2}{5}\right)^3=\dfrac{8}{125}[/tex]

Pour [tex]P(Y=-2)[/tex] et [tex]P(Y=2)[/tex] je ne suis pas sûr, mais je dirais:

[tex]P(Y=2)=3\times \dfrac{3}{5}\times \left(\dfrac{2}{5}\right)^2=\dfrac{36}{125} [/tex]
[tex]P(Y=-2)=3\times \dfrac{3}{5}\times \left(\dfrac{3}{5}\right)^2=\dfrac{81}{125} [/tex]

Pouvez-vous me vérifier?

Merci d'avance

Fred

Administrateur

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Re : Exercice de probabilité

C'est trop!!! La somme de tes probabilités doit en effet faire 1, et ce n'est pas ce que tu as ici!
Cela dit, la démarche me semble bonne, et je pense qu'il y a juste un 2/5 qui est devenu un 3/5 quelque part!

topsi

Invité

Re : Exercice de probabilité

Oui, vous avez raison , c'est au niveau du [tex]P(Y=-2)[/tex] que ça foire:
[tex]P(Y=-2)=3\times \dfrac 25 \left( \dfrac 35\right)^2 =\dfrac{54}{125}[/tex]

Là, la somme donne 1

Merci beaucoup ! Le reste de l'exercice ne me pose pas de problème...

Bonne journée à vous :)

cailloux

Membre

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Re : Exercice de probabilité

Bonjour à tous,
Je suis tout à fait sidéré par la présentation de ses problèmes par topsi.
C'est exceptionnel malheureusement mais ça mérite d'être souligné.
Merci à lui !

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 348

Re : Exercice de probabilité

Je suis entière d'accord avec cailloux! Cela fait grand plaisir d'aider quelqu'un qui fait des efforts comme lui!