Forum de mathématiques - Bibm@th.net

azerty8237

Membre

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Messages : 6

Convergence vers sin(x)/x

Bonsoir,
Je souhaiterais montrer que cos(x/2)*cox(x/4)* ... * cos(x/2^k) converge uniformément vers sin(x)/x sur tout segment de R. (ou bien tout segment de la forme [-a, a].
Comment procéder ?
Merci d'avance pour votre aide

Glozi

Invité

Re : Convergence vers sin(x)/x

Bonjour,
Une astuce : multiplier ton produit $\cos(x/2^1)\cos(x/
2^2)\dots\cos(x/2^k)$ par $\sin(x/2^k)$ et proceder aux (nombreuses) simplifications qui s'imposent. De là tu trouveras une expression plus simple pour ton produit. Ensuite étudier $k\to \infty$.
Bonne journée

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 220

Re : Convergence vers sin(x)/x

Bonjour,
je cède à la facilité :
https://www.bibmath.net/ressources/inde … &type=fexo

azerty8237

Membre

Inscription : 24-10-2022

Messages : 6

Re : Convergence vers sin(x)/x

Bonjour,
Merci pour vos réponses.

Le calcul du produit est facile. Mon problème est surtout de montrer la convergence uniforme sur tout segment de la forme [-a, a] par exemple. (la convergence n'étant pas uniforme sur R)

Merci pour votre aide.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : Convergence vers sin(x)/x

Bonjour,

  Si tu savais simplifier le produit des cosinus et que tu bloquais sur la fin, cela aurait été sympa de le dire avant!!!
En gros, tu veux montrer que $\frac{\sin(x)}{2^n \sin(x/2^n)}$ converge uniformément sur $[-a,a]$ vers $\sin(x)/x.$
Sans trop réfléchir, je regarderais la différence, je mettrais au même dénominateur, puis je procèderais par encadrement (ou majoration) de la valeur absolue du numérateur. J'ai l'impression qu'en utilisant l'inégalité $|\sin(t)-t|\leq |t|^3/6$ (conséquence de l'inégalité de Taylor-Lagrange), on doit pouvoir s'en sortir - mais je n'ai pas fait les calculs jusqu'au bout!

F.