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bibmgb

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Convergence uniforme d'une série de fonctions et terme général

Bonjour,

Je cherche à montrer que "[tex]\Sigma f_n[/tex] converge uniformément sur [tex]I \Longrightarrow \Vert f_n\Vert_\infty[/tex] tend vers 0 quand [tex]n[/tex] tend vers [tex]+\infty[/tex]".

J'ai essayé de passer par la contraposée.
Je suppose donc que [tex]\Vert f_n\Vert_\infty[/tex] ne tend pas vers 0 quand [tex]n [/tex] tend vers l'infini.
Il existe donc un [tex]\epsilon >0[/tex] tel que pour tout [tex]N\in\mathbb{N}[/tex], il existe un entier naturel [tex]n_{\epsilon}[/tex] et [tex]x_{\epsilon}\in I[/tex] tel que [tex]n_{\epsilon}\geq N[/tex] et [tex]|f_{n_{\epsilon}}(x_{\epsilon})|>\epsilon[/tex].

Considérons donc un tel [tex]\epsilon[/tex] et soit [tex]N[/tex] un entier naturel quelconque. Il existe alors [tex]n_{\epsilon}\in\mathbb{N}[/tex] et un réel [tex]x_{\epsilon}\in I[/tex] tel que [tex]n_{\epsilon}\geq N[/tex] et [tex]|f_{n_{\epsilon}}(x_{\epsilon})|>\epsilon[/tex].

(je trouve que ma rédaction est assez lourde, peut être peut-on rédiger de manière plus concise ?)

Si les fonctions [tex]f_n[/tex] sont à valeurs positives, alors on peut écrire que [tex]\Sigma_{k=n_{\epsilon}}^{+\infty}f_k(x_{\epsilon})\geq f_{n_{\epsilon}}(x_{\epsilon})>\epsilon[/tex] et donc [tex]\Sigma f_n[/tex] ne converge pas uniformément sur [tex]I [/tex].

Par contre, je ne vois pas comment procéder lorsque [tex]f_n[/tex] n'est pas à valeurs positives.

Dernière modification par bibmgb (18-10-2023 10:29:53)

Michel Coste

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Re : Convergence uniforme d'une série de fonctions et terme général

Bonjour,
Notons $f$ la limite uniforme de $(f_n)$, et $s_n$ la somme partielle des $f_k$ pour $k<n$.
On a $\Vert f-s_n\Vert_\infty \to 0$ (définition de la convergence uniforme). Par ailleurs $f_n=s_{n+1}-s_{n}$. Vois-tu où je veux en venir ?

bibmgb

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Re : Convergence uniforme d'une série de fonctions et terme général

Vous voulez dire "[tex]f[/tex] la limite de [tex]\Sigma f_n[/tex]" et non de [tex](f_n)[/tex] ?
Vous voulez en venir à "si [tex](s_n)[/tex] converge uniformément vers [tex]f[/tex] alors [tex](s_{n+1}-s_n)[/tex] converge uniformément vers 0 et donc [tex](f_n)[/tex] converge uniformément vers 0".

bibmgb

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Re : Convergence uniforme d'une série de fonctions et terme général

Supposons que [tex](s_n)[/tex] converge uniformément vers [tex]f[/tex] sur [tex]I[/tex].
Soit [tex]\varepsilon >0[/tex].
Il existe [tex]N\in\mathbb{N}[/tex] tel que [tex]\forall n\geq N[/tex] et [tex]\forall x\in I[/tex], [tex]|f(x)-s_n(x)|\leq\dfrac{\varepsilon}{2}[/tex].

Donc [tex]\forall n\geq N[/tex] et [tex]\forall x\in I[/tex], [tex]|s_{n+1}(x)-s_n(x)|\leq |s_{n+1}(x)-f(x)|+|f(x)-s_n(x)|\leq\dfrac{\varepsilon}{2}+\dfrac{\varepsilon}{2}\leq \varepsilon[/tex].

De la même façon, on peut montrer que si [tex]\Sigma f_n[/tex] converge simplement vers [tex]f[/tex] sur [tex]I[/tex], alors [tex](f_n)[/tex] converge simplement vers la fonction nulle sur [tex]I[/tex].

Michel Coste

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Re : Convergence uniforme d'une série de fonctions et terme général

Tu as vu où je voulais en venir, et tu as vu aussi la coquille dans mon message.