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LeParin

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Géométrie, vecteurs directeurs de plan

Bonjour, étant en terminale, je travaille sur les droites, plans et vecteurs dans l'espace. Ainsi je me suis demandé si il était possible d'avoir un plan en 2D ou en 3D dont au moins 2 des vecteurs directeurs seraient égaux, soit confondu? Les plans perdraient ainsi une dimension.

Roro

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Re : Géométrie, vecteurs directeurs de plan

Bonjour,

Je vais répondre par une question : qu'est ce qu'un plan dans l'espace pour toi ?

Est ce que vous avez défini un plan par un point et deux vecteurs non nuls et non colinéaires ?

Je vais supposer que c'est le cas : je note $\mathcal P(A;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ le plan passant par le point $A$ et ayant pour vecteurs directeurs les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.

Dans ce cas, tous les points du plan peuvent être décrits par les points $M$ de la forme $M=A+a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$ où $a$ et $b$ sont deux réels quelconques, et tous les vecteurs de la forme $a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$ sont ce que tu sembles appeler des vecteurs "directeurs" du plan.

Il y a donc plein de tels vecteurs directeurs dans un plan... mais deux vecteurs (par exemple $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$) te suffisent pour avoir tous les autres. Si tu ne t'autorises qu'à n'utiliser que l'un des deux, par exemple seulement $\overrightarrow{u}$ alors  tu ne pourras pas décrire tout le plan, mais uniquement une droite : celle passant par $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$...

Je ne suis pas sûr de bien répondre à ta question car je ne l'ai pas vraiment comprise. Mais dans l'idée, un plan est engendré par deux vecteurs non nuls et non colinéaires, une droite est engendré par un seul vecteur non nul.

Roro.