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Cosmic Gate

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Suites adjacentes

Bonjour,

Je bloque sur Q3.

1) Soit [tex](u_n)_{n \in \mathbf{N}}[/tex] une suite décroissante de limite nulle.
On pose [tex]S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n (-1)^k u_k[/tex] pour tout [tex]n \in \mathbf{N}[/tex].
Montrer que les suites [tex](S_{2n})_{n \in \mathbf{N}}[/tex]  et [tex](S_{2n+1})_{n \in \mathbf{N}}[/tex] sont adjacentes, puis que la suite [tex](S_n)_{n \in \mathbf{N}}[/tex] converge (critère spécial des séries alternées).

[tex]S_{2n+2}-S_{2n}=u_{2n+2}-u_{2n+1} \leq 0[/tex]
[tex]S_{2n+3}-S_{2n+1}=-u_{2n+3}+u_{2n+2} \geq 0[/tex]
Ainsi, [tex](S_{2n})_{n \in \mathbf{N}}[/tex] est décroissante et [tex](S_{2n+1})_{n \in \mathbf{N}}[/tex] croissante.
De plus, [tex]S_{2n+1}-S_{2n} =-u_{2n+1} \longrightarrow 0[/tex]
Donc les suites [tex](S_{2n})_{n \in \mathbf{N}}[/tex]  et [tex](S_{2n+1})_{n \in \mathbf{N}}[/tex] sont adjacentes.
Elles convergent donc vers la même limite et finalement la suite [tex](S_n)_{n \in \mathbf{N}}[/tex] converge.

2) Pour tout [tex]n \in \mathbf{N}^{*}[/tex], on pose [tex]u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}- \ln n[/tex] et [tex]v_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}- \ln (n+1)[/tex]
Montrer que les suites [tex](u_n)_{n \in \mathbf{N}^{*}}[/tex] et  [tex](v_n)_{n \in \mathbf{N}^{*}}[/tex] sont adjacentes. Leur limite commune [tex]\gamma[/tex] est appelé la constante d'Euler.
[tex]u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{n+1}-\ln(n+1) + \ln (n)=\dfrac{1}{n+1}-\displaystyle\int_{n}^{n+1} \dfrac{1}{x}  dx=\displaystyle\int_{n}^{n+1} (\dfrac{1}{n+1}- \dfrac{1}{x} ) \leq 0[/tex] donc [tex](u_n)[/tex] est décroissante.
[tex]v_{n+1}-v_n=\dfrac{1}{n+1}-\ln(n+2) + \ln (n+1)=\dfrac{1}{n+1}-\displaystyle\int_{n+1}^{n+2} \dfrac{1}{x}  dx=\displaystyle\int_{n+1}^{n+2} (\dfrac{1}{n+1}- \dfrac{1}{x} ) \geq 0[/tex] donc [tex](v_n)[/tex] est croissante.
[tex]u_n-v_n=\ln(1+\dfrac{1}{n} ) \longrightarrow 0[/tex]
Donc [tex](u_n)[/tex] et [tex](v_n)[/tex] sont adjacentes.

3) En déduire [tex]\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{k-1}}{k}[/tex]

Dernière modification par Cosmic Gate (28-09-2023 16:41:00)

bridgslam

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Re : Suites adjacentes

Bonsoir,

Vous pouvez calculer la somme alternée jusqu'au rang 2n,  et la comparer avec $h_n - h_{2n}$ où h désigne la série harmonique.

Ensuite faire tendre n vers l'infini.

A.

Dernière modification par bridgslam (28-09-2023 18:22:45)

Cosmic Gate

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Re : Suites adjacentes

Je n'ai pas bien compris, je trouve [tex]S_{2n}= \dfrac{1}{2} (h_{n-1}-h_n )[/tex] mais l'exercice demande d'en déduire sauf que je ne comprends pas le rapport avec la question 2.

Fred

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Re : Suites adjacentes

Salut Cosmic,

  A. ne t'a pas parlé de $h_{n-1}-h_n$ mais de $h_n-h_{2n}.$

Il y a une petite astuce à voir : si tu calcules $h_{2n},$ tu peux séparer les termes d'ordre pair et impair, et factoriser par $2$ dans les termes d'indice pair :

\begin{align*}
h_{2n}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2k+1}+\frac 12\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}
\end{align*}

Tu en déduis que
$$h_{2n}-h_n =\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2k+1}-\frac 12\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$$
et en remettant tout dans une seule somme, on ne doit pas être très loin de $S_{2n}.$

Ensuite, tu peux utiliser que $h_n=\ln(n)+\gamma+o(1)$
(vue la teneur de l'autre conversation, j'imagine que tu connais bien les DLs).

F.

Cosmic Gate

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Re : Suites adjacentes

Bonjour,
Merci pour votre réponse. Oui j'ai longtemps pratiqué les DL.
Il fallait y penser à considérer [tex]S_{2n}[/tex] !

On a [tex]H_{2n}-H_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{(-1)^{2k+1 -1}}{2k+1} +\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{(-1)^{2k -1}}{2k} =  S_{2n} [/tex]

[tex]\boxed{H_{2n}-H_n = S_{2n}}[/tex]

La question 2 donne immédiatement : [tex]H_n= \ln n + \gamma + o(1)[/tex]

Donc [tex]S_{2n}= \ln(2) +o(1)[/tex]

Finalement [tex]\boxed{\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{k-1}}{k}= \ln (2)}[/tex]

Remarque :
Le critère spécial des séries alternées donne la convergence de [tex](S_{2n})[/tex] qui est une suite extraite de [tex](S_n)[/tex].

Dernière modification par Cosmic Gate (29-09-2023 20:10:24)