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Lou-Ann

Invité

Recherche de tangentes communes à 2 paraboles

Bonjour,
j'ai un exercice sur Wims que je ne comprends absolument pas sur la dérivation intitulé "Tangente à deux paraboles" (censée être de niveau première général) et je voulais savoir si quelqu'un pouvait m'aider ?
On considère deux polynômes f et g définis sur R par :
f(x)=2x^2-5x+3 et g(x)=-2x^2+11x-17

Déterminer les équations réduites des deux tangentes communes aux courbes représentatives de f
et de g :

1- Première équation (celle de pente la plus faible) :
    y= ?
2- Déterminer l'abscisse x1 du point de tangence à la courbe représentative de f :
    x1= ?
3- Déterminer l'abscisse x'1 du point de tangence à la courbe représentative de g :
    x'1=  ?
4- Deuxième équation (celle de pente la plus forte) :
    y= ?
5- Déterminer l'abscisse x2 du point de tangence à la courbe représentative de f :
    x2= ?
6- Déterminer l'abscisse x'2 du point de tangence à la courbe représentative de g:
    x'2= ?

Voilà l'exercice recopié mot pour mot. Bonne journée.

yoshi

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Re : Recherche de tangentes communes à 2 paraboles

Bonjour Lou Ann,

Tu ne savais pas que, en cliquant sur Répondre ou en écrivant ton sujet das Réponse rapide, tu répondais à celui  qui avait ouvert la discussion avec quelque chose qui n'avait rien à voir ? Rhoooo.... ^_^
L'émotion sans doute !
Bon, problème réglé, tu as maintenant ta propre discussion, et les pages suivantes te seront entièrement consacrées....

Voilà le plan :
Appeler  $a$ (par exemple),l'abscisse d'un point quelconque A de $C_f$
Calculer en fonction de $a$ l'équation réduite de la tangente en A à $C_f$ (ça tu dois savoir faire). La simplifier pour obtenir la forme $y=mx+p$ (c'est cette forme qui est appelée équation réduite).

Soit $b$ (par exemple) l'abscisse d'un point quelconque B de $C_g$.
Calculer en fonction de $b$ l'équation réduite de la tangente en B à $C_g$ (tu refais ce que tu as fait  avec la fonction $f$ mais en utilisant $g$). La simplifier pour obtenir la forme $y=m'x+p'$

Maintenant la clé est d'écrire qu'il s'agit d'une seule et même droite et donc Identifier (c'est ainsi qu'on appelle ce procédé)  les deux coefficients directeurs et les deux ordonnées à l'origine, c'est à dire écrire que les 2 coefficients directeurs sont égaux et que les deux ordonnées à l'origine sont égales.

Tu obtiens ainsi un système deux équations à deux inconnues $a$ et $b$ à résoudre :
$\begin{cases} m=m'\\p=p'\end{cases}$
où m et p sont deux expressions en fonction de a et m' et p' deux expressions en fonction de b...
(il y a deux valeurs pour $a$ et $b$)...
Avec les valeurs numériques obtenues de $a$ et $b$., tu pourras alors calculer le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de chacune des des deux tangentes.
Les calculs ne sont pas très compliqués, il faudra éviter les fautes de calcul et de signes.
Selon ton efficacité, ça peut te prendre 10 min à 1/4 h...

Cela fait, la suite n'est plus que de la routine...

Je l'ai fait et vérifié avec Geogebra...

Maintenant, à toi de jouer, reviens avec tes calculs...

@+

yoshi

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Re : Recherche de tangentes communes à 2 paraboles

Bonsoir,

Et bien, tu as apparemment porté un très grand intérêt à la réponse détaillée que je t'ai faite...

Certes, je n'ai proposé aucun calcul, je t'ai laissé ce soin, même si j'avais pris le temps de les faire et de les rédiger proprement. Je les ai gardés sous le coude. Je les publierai plus tard pour qu'ils servent à d'autres.

Si tu espérais en venant ici que quelqu'un fasse ce travail à ta place (j'espère que non et je ne le pense pas) tu t'es trompée d'adresse : c'est contraire à nos Règles parce que nous considérons que cela n'apporte rien à celui qui a besoin d'aide...

      Yoshi
- Modérateur -

cailloux

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Re : Recherche de tangentes communes à 2 paraboles

Bonjour à tous,
Une méthode alternative (pas forcément meilleure) à celle de yoschi :

- On part d'une droite quelconque d'équation y=$mx+p$.
- On forme les deux équations aux abscisses (intersections droite/paraboles).
- On obtient un système d'équations du second degré de paramètres $m$ et $p$.
- On écrit que les discriminants de ces équations sont nuls (en sorte que la droite soit tangente aux deux paraboles).
- On résout enfin le système de deux équations obtenu en $m$ et $p$.

J'ai moi aussi fait les calculs et vérifié avec GeoGebra. Ce n'est pas insurmontable.

Un petit inconvénient : à aucun moment on ne parle de dérivées qui doivent être la principale motivation de cet exercice de 1ère.
[Edit] Corrigé mon erreur sur le pseudo yoshi (le c barré n'est pas très heureux ...)

Dernière modification par cailloux (27-09-2023 14:56:37)

yoshi

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Re : Recherche de tangentes communes à 2 paraboles

Re,

Non pas Yoschi, mais yoshi.
En me présentant à vous, j'ai dit avoir été kenkoda, un pratiquent du Kendo : de ken le sabre et Do la voie.
Cet art s'est développé suite à l'interdiction au Japon des duels à mort au Katana...
Pour voir à quoi peut ressembler un kendoka : https://www.shutterstock.com/fr/search/ … uipment%22 (par exemple).
Le plus célèbre des Samouraïs japonais s'appelait Myamoto Musashi, son histoire a été racontée dans deux bouquins "La pierre et le Sabre" et "La parfaite lumière". L'auteur de ces environ 1500 pages de lecture a nom Eiji Yoshikawa...
En outre, durant des années, le conseiller technique était Yoshimura senseï (Maître Yoshimura), plus précisément Yoshimura Kenichi...

Tu ne pouvais pas - en principe - savoir : voilà le pourquoi de mon pseudo.
Alors, je peux te dire que Maths + jeu d'échecs, c'était déjà in sacré mélange, mais si tu greffes par dessus le Kendo, tu n'en ressors pas indemne... D'autant qu'avec le Kendo, tu pratiques aussi la discipline associée, le Iaido, où tu utilises un sabre métallique pareil à un katana sauf qu'il n'est pas affûté et que tu ne frappes personne : tu simules dans le vide une riposte contre 1, 2, 3 ou 4 attaquants...
Fin de la grosse parenthèse.

Ta proposition.
Ce fut ma première idée, et je l'ai abandonnée (je n'avais pensé au système de 2 équations du 2nd degré) quand j'ai pensé à l'autre plan... qui m'est apparu (à tort ou à raison) plus simple et plus didactique...
Je pense que Lou-Ann a disposé d'un temps suffisant (8 jours plein) pour reprendre contact : elle a dû trouver ailleurs dans son entourage : on ne la reverra pas.
L'excuse classique qu'on nous sort en pareil cas : j'ai eu une panne d'Internet...

Je vais attendre encore un peu avant de mettre mes calculs.

@+

cailloux

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Re : Recherche de tangentes communes à 2 paraboles

Ah ! Vraiment désolé yoshi !
Merci : on en apprend tous les jours.

yoshi

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Re : Recherche de tangentes communes à 2 paraboles

Tu ne connaissais pas le kendo ?
Premier réflexe du public lors d'une démonstration : le rire à cause des cris lors des combats...
Puis, le silence se faisait : le public finissait par faire silence, impressionné par la violence apparente des coups (à cause du bruit des sabres sur les armures) couplé aux cris qui montaient crescendo et se prolongeaient après les frappes, le bruit des pieds frappant le plancher.
En plus, pour couronner le tout, il faut savoir que bruit du sabre qui frappe + cri + frappe du pied doivent être simultanés ne constituer qu'un seul bruit...

Lors d'un stage, ma femme, qui était venue me voir, pour trouver la salle s'était guidée... à l'oreille
Ça n'a l'air de rien, mais crier en public c'est très difficile.
J'avais organisé une démo dans mon bahut avec moult explications...
A la fin, question : qui veut essayer ?
Des mains s'étaient levées...
J'avais relevé parmi elles, celles qui appartenaient à des grandes g... patentées : j'en avais sélectionné une ou deux.
On les avait équipés de pied en cap, fourni le sabre et répété la consigne : criez fort pendant les frappes...
Mais les rires des spectateurs se sont élevés : les grandes g... n'arrivaient qu'à fournir des cris faméliques qui obligeaient à tendre l'oreille...

Durant ma phase d'apprentissage, j'ai vu passer pas mal de mecs plus doués que moi et qui ont tout plaqué au moment où revêtus d'une "armure" de kendo, ils apprenaient à combattre réellement, mais n'arrivaient pas à crier devant les autres...
Pourtant, quelle thérapie !

@+

cailloux

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Re : Recherche de tangentes communes à 2 paraboles

Bonjour,
J'ai juste entendu parler du kendo et vu quelques démonstrations à l'occasion de certains films.
J'ai lu tes commentaires avec attention. Merci. Quelque soit la discipline, il est toujours intéressant d'avoir les ressentis (vus de l'intérieur) d'un pratiquant.

cailloux

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Re : Recherche de tangentes communes à 2 paraboles

Bonjour,
Je pense aussi qu'on ne reverra pas Lou-Ann. J'espère, en postant ma solution, pouvoir y intégrer une image.

Une équation générale de droite : $y=mx+p$.
Les équations aux abscisses des intersections des deux paraboles avec cette droite :

$\begin{cases}2x^2-(m+5)x-p+3=0\\-2x^2-(m-11)x-p-17=0\end{cases}$

Le système des deux discriminants nuls après développement :

$\begin{cases}m^2+10m+8p+1=0\\m^2-22m-8p-15=0\end{cases}$

Système que l'on résout par exemple en sommant les deux équations pour obtenir :

  $m^2-6m-7=0$

On obtient les deux couples $(m,p)$ : $(-1,1)$ et $(7,-15)$

Une image (un test pour moi) :

yoshi

Modo Ferox

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Re : Recherche de tangentes communes à 2 paraboles

Bonour,

@cailloux.
Bon, alors, ok, je ressors mes calculs de leur tiroir :

▼Solution pour les équations des tangentes

Soit A le point de $C_f$ de coordonnées $(a\,;\,f(a))$, avec $a \in \mathbb R$
$f(x)=2x^2-5x+3$ et  $f(a)=2a^2-5a+3$
$f'(x)=4x-5$ 
$m= f'(a)=4a-5$

Equation de la tangente en A à $C_f$ :
$ y =f'(a)(x-a)+f(a)$
Soit
$y=(4a-5)(x-a)+2a^2-5a+3$
$y=(4a-5)x-4a^2+5a+2a^2-5a+3$
$y=(4a-5)x-2a^2+3$ 

On a donc $m= 4a-5$ et $p=-2a^2+3$

---------------------------------------------------------------

On recommence avec g.
Soit B le point de $C_g$ de coordonnées $(b\,;\,g(b))$, avec $b \in \mathbb R$
$g(x)=-2x^2+11x-17$ et  $g(b)=-2b^2+11b-17$
$g'(x)=-4x+11$
$m'= g'(b)=(-4b+11)$

Equation de la tangente  en B à $C_g$ :
$y =g'(b)(x-b)+g(b)$
Soit
$y=(-4b+11)(x-b)-2b^2+11b-17$
$y=(-4b+11)x+4b^2-11b-2b^2+11b-17$
$y=(-4b+11)x+2b^2-17$ 

On a donc $m'= -4b+11$ et $p'=2b^2-17$

-----------------------------------------------------------------
Le système à résoudre est donc :
$\begin{cases}4a-5&=-4b+11\\-2a^2+3&=2b^2-17\end {cases}$

Je résous par substitution (le moins calculatoire).
De la 1ere équation, je tire :
$4a= -4b+11+5$ soit $a=-b+4$

La deuxième équation s'écrivant :
$-2a^2+3-2b^2+17=0$ ou encore
$a^2+b^2-10=$,
je remplace alors, dans cette expression, $a$ par $-b+4$.
D'où :
$(-b+4)^2+b^2-10=0$
$b^2-8b+16+b^2-10=0$
qui se simplifie en :
$2b^2-8b+6=0$
ou encore :
$b^2-4b+3=0$
Là je ne m'embête avec $\Delta$, parce que je vois que 1-4+3 = 0 : une solution dite évidente est $b=1$, l'autre vaut donc $b=3$

Cas où $b=1$
$a =-b+4 =3$
D'où $m=4a-5=12-5=7$ et $p=-2a^2+3=-15$
L'une des tangentes a pour équation $y =7x-15$

Cas où $b = 3$
$a =-b+4 =1$
D'où $m=4a-5=4-5=-1$ et $p=-2a^2+3=1$
La 2e tangente a pour équation $y =-x+1$

Le calcul des coordonnées des points de tangence ne présentant aucune difficulté ni intérêt particulier, je m'en dispense donc...

Comme ça, on se complète... ;-)

@+