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Bivalve

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Problème de sommes

Bonjour, je voudrais savoir si le résultat suivant est juste, et avoir éventuellement une preuve ( parce que je galère un peu ) :

" Considérons [tex]a_1, ..., a_n [/tex] des nombres complexes, alors  [tex]\sum_{k=1}^n (a_k) ^p = 0  [/tex]  pour tout p > 0
[tex]\Rightarrow \forall [/tex] k dans { 1 ; ... ; n },  [tex] a_k = 0 [/tex]

Je vous remercie d'avance de vos retours !

Glozi

Invité

Re : Problème de sommes

Bonjour,
Voici un mot clef : polynômes interpolateurs de Lagrange
Si tu ne vois pas on pourra surement t'aiguiller davantage.
Bonne journée

Bivalve

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Re : Problème de sommes

Mince, je n'ai pas encore travaillé le chapitre sur les polynômes interpolateurs de Lagrange. Je vais essayer de me renseigner là dessus, j'espère que ca va pas être trop difficile. Merci pour votre réponse.

Rebeccca

Invité

Re : Problème de sommes

Est-ce que ce les relations sommes de Newton et sommes symétriques peuvent-être utiles ici ?
Cordialement

Fred

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Re : Problème de sommes

Bonjour,

  Oui, une façon de voir les choses est d'utiliser les sommes de Newton et les sommes symétriques.
Concrètement, ce qu'on peut utiliser ici, c'est que le produit $a_1\cdots a_p$ peut s'écrire en fonction des sommes de Newton $S_1=a_1+\cdots+a_p,$ $S_2=a_1^2+\cdots+a_p^2$, ..., $S_p=a_1^p+\cdots+a_p^p.$
Plus précisément, il existe un polynôme $P$ en $p$ indéterminées telles que
$$a_1\cdots a_p=P(S_1,\dots,S_p).$$
L'hypothèse nous donne alors que le produit $a_1\cdots a_p$ est nul, donc qu'au moins un des $a_i$ est nul. On déduit assez facilement que finalement tous les $a_i$ doivent être nuls.

Peut-être que si Bivalve nous donnait le contexte de l'exercice (chapitre où il est traité), on en saurait un peu plus sur les outils qui sont à sa disposition.

F.

Bivalve

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Re : Problème de sommes

Re-bonjour,
C'est en fait un résultat dont j'ai besoin afin de prouver une propriété en algèbre linéaire :
" A matrice complexe est nilpotente <=> pour tout p > 0, [tex] Tr(A^p) [/tex] "

( Donc l'exercice n'a pas de rapport direct avec ce résultat )

Je te remercie pour ta réponse Fred. Ca me parait pas encore tout clair mais au moins j'ai une preuve à ma disposition que je pourrai étudié en détails plus tard.

Sinon, je pense qu'un raisonnement plus "algébrique" pourrait m'aider davantage !

Dernière modification par Bivalve (25-09-2023 20:13:25)

Glozi

Invité

Re : Problème de sommes

Bonjour,
Les polynômes interpolateur de Lagrange c'est juste un nom pour parler de certains polynômes.

Notons $n_i \geq 1$ la multiplicité de $a_i$ et on suppose désormais tous les $a_i$ différents.
Ton hypothèse se réécrit $\sum_{i=1}^n n_i (a_i)^p=0$ pour chaque $p\geq 1$.
En particulier en multipliant chacune de ces équation par un $\lambda_p \in \mathbb{C}$ et en sommant ces équations on voit que :
$\forall p\geq 1, \forall \lambda_1,\dots,\lambda_p \in \mathbb{C}, \sum_{i=1}^nn_i (\lambda_1 a_i^1+\lambda_2a_i^2+\dots +\lambda_p a_i^p)=0.$
Notons $P(X)=\sum_{k=1}^p \lambda_i X^i$.
On a donc $\sum_{i=1}^n n_iP(a_i)=0$.
Cela vaut pour n'importe quel polynôme complexe $P$ qui est divisible par $X$.

Le but des polynôme interpolateur de Lagrange c'est de construire des polynôme $P$ tel que $P(a_i)=0$ sauf pour un $i$ particulier, $i=i_0$ avec $P(a_{i_0})=1$.
Ici la contrainte supplémentaire c'est que $P$ doit être divisible par $X$.

Pour $1\leq i\leq n$, on pose $P(X) = X\prod_{j\neq i}\frac{X-a_j}{a_i-a_j}$.
C'est une petite variante de ce qu'on appelle un polynôme interpolateur de Lagrange. Que vaut $P(a_i)$ (distinguer selon si $a_i=0$ ou non) ? Que valent les $P(a_j)$ si $j\neq i$ ?
Avec ce polynôme tu vas donc pouvoir conclure que tous les $a_i$ sont nuls.

Bonne soirée

Bivalve

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Re : Problème de sommes

Merci Glozi ! Cette méthode m'est beaucoup plus abordable ( bien que très astucieuse ! ).

En effet, nous savons que :

- [tex] P(a_i) = 0 [/tex] si [tex]  a_i = 0 [/tex] ( car X divise P )
- [tex]  P(a_i) [/tex] != 0   pour [tex]  a_i [/tex] != 0  ( car tous les [tex] a_j [/tex] sont distincts )
- [tex]  P(a_j) [/tex] = 0 pour tout j != i ( par définition de P )

On déduit que [tex] \sum_{i=1}^n n_iP(a_i) = 0 \Longleftrightarrow n_iP(a_i) = 0 [/tex]
Alors forcément, comme [tex] n_i [/tex] != 0, donc nous avons [tex] P(a_i) = 0 [/tex], c'est-à-dire [tex] a_i = 0 [/tex].

( Bien évidemment, pour i de 1 à n )

Fred

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Re : Problème de sommes

Hello,

  Voici une autre preuve, un peu astucieuse, qui peut en réalité après une petite adaptation permettre de démontrer directement qu'une matrice $M$ est nilpotente si et seulement si $\textrm{Tr}(A^k)=0$ pour tout $k>0.$

On remarque d'abord qu'il suffit de prouver par récurrence qu'un des $a_i$ est nul.
On considère $D$ la matrice diagonale formée par $a_1,\dots,a_n$ et $\chi_D$ son polynôme caractéristique.
On écrit $\chi_D(X)=X^n+c_{n-1}X^{n-1}\cdots+c_0,$
où $c_0=\pm \det(D).$
Par le théorème de Cayley-Hamilton, on sait que $D^n+c_{n-1}D^{n-1}+\cdots+c_1 D+c_0 I_n=0.$
On applique la trace à l'égalité précédente, et puisque $\textrm{Tr}(D^k)=a_1^k+\cdots+a_n^k=0,$
on trouve $c_0=0.$ Ainsi, $\det(D)=0$ et un des $a_i$ est nul.

F.