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fondue17

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Question équation - simplification vs factorisation - RESOLU

Bonjour,

dans un exercice de niveau seconde, on doit vérifier l'équation suivante :

[tex]\frac{x(x-2)}{2} = (x-3)(x-2)[/tex]

Essai n°1 : je simplifie les deux termes en divisant par (x-2) j'obtiens [tex]\frac{(-x+6)}{2} = 0 <=> x = 6[/tex] et donc S = {6}

Essai n°2 : si je rassemble les deux termes pour  factoriser (x-2)  j'obtiens rapidement [tex](x-2)(\frac{-x}{2} + 3)[/tex] = 0
et S= {2;6}

Les deux résultats étant différents , j'ai sans doute fait une erreur quelque part mais je ne vois pas vraiment où.

Qu'en pensez-vous ?

Dernière modification par fondue17 (22-09-2023 11:59:05)

Michel Coste

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Re : Question équation - simplification vs factorisation - RESOLU

Bonjour,

en divisant par (x-2)

As-tu réfléchi aux conséquences de cet acte ?

fondue17

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Re : Question équation - simplification vs factorisation - RESOLU

Bonjour, merci pour la réponse.

J'en déduis que je ne devrais pas avoir fait cette division ! Mais en fait je ne vois pas le problème car il me semble qu'on peut effectuer la même opération sur deux termes d'une égalité.  Des deux côté j'ai (x-2), qui est un réel, et donc j'ai pensé diviser les deux termes par le même réel. Sauf bien sûr si ce réel est égal à 0...

Aaah oui ! je crois que je viens de comprendre :)

yoshi

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Re : Question équation - simplification vs factorisation - RESOLU

Bonjour,

Tout à fait, tu ne dois pas simplifier par $(x-2)$...
Si, tu remplaces $x$par 2 dans ton équation :
$\dfrac{x(x-2)}{2} = (x-3)(x-2)$
Tu vois bien que $x=2$ est solution : simplifier par $(x-2)$ t'a donc conduit(e) à perdre une solution

je simplifie les deux termes en divisant par $(x-2)$ j'obtiens $\frac{−x+6}{2}=0$

Attention les termes sont les composants d'une somme : ici tu divises les deux membres de l'équation.
Ici, au pire, tu peux dire :
1. En remplaçant $x$ par 2, je vois que j'obtiens 0 = 0, 2 est donc solution.
2. Si $x\neq 2$, alors $x-2\neq 0$ alors je peux simplifier les 2 membres par $(x-2)$, etc...
L'ensemble des solutions est $S=\{2,6\}$

Oublier d'étudier le cas x=2, avant de passer à $x\neq 2$ et diviser par $(x-2)$, c'est oublier que l'on a pas le droit de diviser par 0, c'est d'autant plus fâcheux qu'à parir de cette année ce genre d'oubli risque de te coûter cher......

Le jour où tu auras 3 fractions dans le 1er membre et 2 dans le 2e, tu vas souffrir avec ce genre de procédé non classique...

------------------------------------------------------------------------------------------------
Par exemple (celui-là, il est encore "gentil") :
$\dfrac{7x-4}{12}-\dfrac{8-3x}{36}=1+\dfrac{x-4}{9}$
Ça, c'est un peu moins gentil :
$\dfrac{(x-1)(x+5)}{3}-\dfrac{(x-1)(x+2)}{7}=1+\dfrac{(x+2)(x+5)}{12}$
------------------------------------------------------------------------------------------------

Dans ton cas, voici ce que j'aurais fait.
On multiplie les deux membres de l'équation $\dfrac{x(x-2)}{2} = (x-3)(x-2)$ par 2 :
$x(x-2)=2(x-3)(x-2)$
Je rassemble tout dans le 1er membre :
$x(x-2)-2(x-3)(x-2)=0$
je factorise :
$(x-2)[x-2(x-3)]=0$
$\Leftrightarrow$
$(x-2)(x-2x+6)=0$
soit :
$(x-2)(-x+6)=0$
qui est une équation-produit du type 3e : sa résolution n'est plus que la routine...

@+

[EDIT] Trop lent : grillé par Michel Coste.
Bah, tu auras eu 2 réponses pour le prix d'une...

Dernière modification par yoshi (22-09-2023 12:20:13)

fondue17

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Re : Question équation - simplification vs factorisation - RESOLU

Merci pour la réponse et toutes les précisions.
Je vais essayer les deux équations proposées (je vérifierai dans wolfram!)
Bonne journée

vam

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Re : Question équation - simplification vs factorisation - RESOLU

Bonjour
personnellement, ce que je n'aime pas c'est la formulation "vérifier une équation"...on résout une équation dans ...on vérifie une égalité...on vérifie qu'une valeur donnée est solution d'une équation donnée...
:)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Question équation - simplification vs factorisation - RESOLU

Salut vam,

ça faisait longtemps...
C'est vrai, je n'avais pas remarqué le : vérifier...
Je pense que la transcription de la consigne n'est pas un verbatim de l'original.

@+

fondue17

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Re : Question équation - simplification vs factorisation - RESOLU

Oui OK résoudre une équation merci c'est clair!