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Dr_Piradians

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$f\mapsto(f_{\mid A},f_{\mid B})$

Bonjour. Soit $A\subset E$ et $B\subset E$, et une application $f\mapsto(f_{\mid A},f_{\mid B})$ de $\mathcal{F}(E,F)$ dans $\mathcal{F}(A,F)\times\mathcal{F}(B,F)$. Si $A\cap B=\varnothing$, cette application est surjective. Comment on le démontre ?

Il me semble que si $g\in\mathcal{F}(A,F)$, il existera toujours un $f\in\mathcal{F}(E,F)$ tel que $g=f_{\mid A}$, et donc l'application $f\mapsto f_{\mid A}$ est toujours surjective, Mais alors pourquoi pour l'application $f\mapsto(f_{\mid A},f_{\mid B})$, elle n'est pas surjective lorsque $A\cap B\neq\varnothing$ ?

Dernière modification par Dr_Piradians (01-09-2023 15:42:13)

verdurin

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Re : $f\mapsto(f_{\mid A},f_{\mid B})$

Bonsoir,
si $A\cap B\neq \emptyset$ il existe des applications $(g,h)\in \mathcal{F}(A,F)\times \mathcal{F}(B,F)$ qui ne sont pas des restrictions d'une application de E dans F.
En particulier parce que g et h peuvent avoir des images différentes sur $A\cap B$.

Par exemple en prenant $E=\mathbb{R}, A=\mathbb{R^-}, B=\mathbb{R^+}$ puis $g : \mathbb{R^-}\to \mathbb{R} ; x\mapsto g(x)=-1$ et $h: \mathbb{R^+}\to \mathbb{R} ; x\mapsto h(x)=1$ on voit qu'il y a un problème en 0 pour associer $(g,h)$ à une application de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.

bridgslam

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Re : $f\mapsto(f_{\mid A},f_{\mid B})$

Bonjour,

Pour rejoindre ce qui vous a préoccupé au départ ( "il me semble que...") comparer votre situation à cette application:

$\mathcal{F}(E,F) \times \mathcal{F}(E,F) \rightarrow  \mathcal{F}(A,F)\times\mathcal{F}(B,F)$
$(f,g)\mapsto(f_{\mid A},g_{\mid B})$

Pour revenir à votre question, il faut restreindre cette application à la diagonale de l'ensemble de départ, cette contrainte n'est pas négligeable.

Alain

Dr_Piradians

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Re : $f\mapsto(f_{\mid A},f_{\mid B})$

Je vous remercie de vos réponses. Je viens de me connecter à l'instant. J'avais déjà trouvé par moi-même la réponse pendant le samedi. Si on suppose que l'élément $x_1$ appartient à $A\cap B$, et si $g$ et $g'$ (rien à voir avec la dérivée) sont des applications respectivement de $A$ dans $F$ et de $B$ dans $F$, alors pour des $g$ et $g'$ quelconques on n'a pas nécessairement $g(x_1)=g'(x_1)$. Or, si $f$ est l'application de $E$ dans $F$ telle que $g=f_{\mid A}$ et $g'=f_{\mid B}$, on aurait $f(x_1)\neq f(x_1)$, une telle application $f$ n'existe pas.

Dernière modification par Dr_Piradians (02-09-2023 17:56:31)