Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Med benatik

Invité

Existence de a^(x)

Bonjour,

Étant donné $a^x$ avec a, $x \in \mathbb R$, dans quel cas ce nombre existe-il ?

Merci beaucoup

Dernière modification par yoshi (07-08-2023 20:03:48)

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : Existence de a^(x)

Bonsoir,

Sujet déplacé : c'est un problème qui se ramène à la détermination d'un domaine de définition qui ne relève pas du Supérieur...
Quelques éléments de réponse :
Si $x \in, \mathbb R^-$ alors on doit avoir $a \neq 0$
Si $x$ est un rationnel (par exemple $a^{\frac 1 2}$ qui s'écrit encore $\sqrt a$), alors il y a beaucoup de cas...
$\sqrt a$ par exemple, n'existe  que si $a>0$

Mais je trouve ta question bien trop générale pour être traitée rapidement, et je serais surpris qu'elle soit traitée quelque part en ces termes.
Moi, personnellement je réagirais face à un ou plusieurs exemples sans m'être cassé la tête à chercher avant tous les cas possibles. !
Maintenant, peut-être un sage de ce forum est-il capable de traiter ta question de façon exhaustive en quelques lignes...

@+

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Existence de a^(x)

Bonjour,

Contrairement à Yoshi, j'aurai conservé cette question dans la section "Supérieur" car, bien qu'on définisse $a^x$ au collège/lycée pour des valeurs "simples" de $a$ et $x$, la question générale est posée plus tard...

Pour faire court (et sans doute un peu trop) :

$\bullet$ En collège/lycée, $a^x$ est défini pour $a\in \mathbb R$ et $x\in \mathbb N$ par la produit $x$ fois de $a$ par lui-même :
$$a^x = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{x \text{ fois}}$$.
On vérifie alors facilement qu'on a la propriété (P) suivante $a^{x+y} = a^x a^y$.

$\bullet$ On peut généraliser au cas où $x\in \mathbb Z$ lorsque $a\neq 0$ en posant
$$a^{-1} = \frac{1}{a}$$
et en généralisant la propriété (P). Attention, lorsque $a=0$ et $x$ est un entier négatif, on ne peut plus définir $a^x$...

$\bullet$ Ensuite (lycée et surtout supérieur), la propriété (P) permet de relier cette définition à celle des fonctions logarithmes et exponentielles. On peut alors écrire
$$a^x = \mathrm e^{x \ln(a)}$$
Cette définition permet de retrouver celles précédentes (cas où $x$ est entier, et $a>0$), mais permet aussi de définir $a^x$ pour tout réel $x$, et pour tout réel strictement positif $a$.

Au final, $a^x$ est défini

- lorsque $a>0$ et $x\in \mathbb R$

ou

- lorsque $a<0$ et $x\in \mathbb Z$.

Un cas un peu particulier, lorsque $a=0$, on pose $x^0=1$ pour tout $x\neq 0$, mais $0^0$ n'est pas défini.

En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises.

Roro.

Med benatik

Invité

Re : Existence de a^(x)

Bonjour,

Contrairement à Yoshi, j'aurai conservé cette question dans la section "Supérieur" car, bien qu'on définisse $a^x$ au collège/lycée pour des valeurs "simples" de $a$ et $x$, la question générale est posée plus tard...

Pour faire court (et sans doute un peu trop) :

$\bullet$ En collège/lycée, $a^x$ est défini pour $a\in \mathbb R$ et $x\in \mathbb N$ par la produit $x$ fois de $a$ par lui-même :
$$a^x = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{x \text{ fois}}$$.
On vérifie alors facilement qu'on a la propriété (P) suivante $a^{x+y} = a^x a^y$.

$\bullet$ On peut généraliser au cas où $x\in \mathbb Z$ lorsque $a\neq 0$ en posant
$$a^{-1} = \frac{1}{a}$$
et en généralisant la propriété (P). Attention, lorsque $a=0$ et $x$ est un entier négatif, on ne peut plus définir $a^x$...

$\bullet$ Ensuite (lycée et surtout supérieur), la propriété (P) permet de relier cette définition à celle des fonctions logarithmes et exponentielles. On peut alors écrire
$$a^x = \mathrm e^{x \ln(a)}$$
Cette définition permet de retrouver celles précédentes (cas où $x$ est entier, et $a>0$), mais permet aussi de définir $a^x$ pour tout réel $x$, et pour tout réel strictement positif $a$.

Au final, $a^x$ est défini

- lorsque $a>0$ et $x\in \mathbb R$

ou

- lorsque $a<0$ et $x\in \mathbb Z$.

Un cas un peu particulier, lorsque $a=0$, on pose $x^0=1$ pour tout $x\neq 0$, mais $0^0$ n'est pas défini.

En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises.

Roro.

Bonjour, je vous remercie infiniment pour vos aides , mais j'ai une petite autre question, quand a <0 , dans quels cas a^x n'est pas définie,c'est fini pour Z , mais pour R\Z ?
Merci beaucoup vous m'avez vraiment aider .

Med benatik

Invité

Re : Existence de a^(x)

Reste aussi le cas de a=0 ،dans quels cas a^x existe dans ce cas ?

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Existence de a^(x)

Re,

Au final, $a^x$ est défini

- lorsque $a>0$ et $x\in \mathbb R$

ou

- lorsque $a<0$ et $x\in \mathbb Z$.

Un cas un peu particulier, lorsque $a=0$, on pose $x^0=1$ pour tout $x\neq 0$.

Dans les autres cas, je ne pense pas que $a^x$ soit défini. Ainsi, tous les cas sont traités.

Roro.

Dernière modification par Roro (08-08-2023 11:13:18)