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user1992

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Equations fonctionnelles

Bonjour à tous,

Je cherche toutes les fonctions $f$ dérivables sur $]0, +\infty[$ telles que pour tout $x,y$ strictement positifs, on a $f(xy) = f(x) + f(y).$

Considérons $f$ une telle fonction, alors en remplaçant $x$ par $1$ dans la condition di-dessus, on a $f(1) = 0.$ Mais je n'arrive pas à montrer que $f^{\prime}(xy) = \dfrac{f^{\prime}(x)}{y}$ pour tout $x,y$ strictement positif.

Si on fixe $y > 0,$ alors la fonction $x \mapsto f(xy)$ peut se décomposer de la manière suivante :

$$x \mapsto xy \mapsto f(xy)$$

Puisque $f$ est dérivable, alors par le théorème de la dérivation des fonctions composées, on a : $$f^{\prime}(xy) = y f^{\prime}(xy) = f^{\prime}(x) + f^{\prime}(y) $$

Pour conclure, il faut avoir $f^{\prime}(y) = 0$ pour tout $y > 0$. Mais je suis à court d'arguments.

D'avance merci.

user1992

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Re : Equations fonctionnelles

En écrivant le message, il me vient une idée. Puisque $y$ est fixé, alors la fonction $g : x \mapsto y$ est constante. Ensuite  on applique $f$ ce qui donne $f(g(x)) = f(y)$ où $f(y)$ est une constante donc de dérivée nulle.

Qu'en pensez vous ?

Dernière modification par user1992 (21-06-2023 16:28:02)

Zebulor

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Re : Equations fonctionnelles

Bonsoir,
on a vite fait d'être dans la confusion avec les dérivées $'$ ..
j'aurais envie de partir de  $f(xy)= f(x) + f(y) $ puis de dériver chaque membre de l'égalité par rapport à $x$ de sorte qu'en partant de la décomposition que tu as faite en posant $u(x)=xy$ on a:
$\dfrac {d}{dx} f(xy)=\dfrac {d}{dx} f(x) + \dfrac {d}{dx} f(y)=f'(x)$
Or $\dfrac {d}{dx} f(xy)=\dfrac {d}{dx} f(u(x))=f'(u(x))\dfrac {d}{dx} u(x)$

J'ai posé $u(x)=xy$ sinon je m y perds... en précisant que $f'(u(x))$ est une dérivée par rapport à $u$

Dernière modification par Zebulor (21-06-2023 22:13:59)

Black Jack

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Re : Equations fonctionnelles

Bonjour,

Il me semble qu'il y a une famille de solutions triviales, soit f(x) = k.ln(x)  (avec k une constante et x > 0)

En effet f(x.y) = k.ln(x.y) = k.(ln(x) + ln(y)) = k.ln(x) + k.ln(y) = f(x) + f(y)  (avec x et y strictement positifs).

Il faudrait démonter qu'il n'y a pas d'autres solutions ...

Fred

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Re : Equations fonctionnelles

Bonjour

  pour prouver que ce sont les seules solutions on peut repartir de la relation démontrée par user1992 faire x=1 et on obtient que f'(y)=k/y ce qui permet de conclure.

F.

Bernard-maths

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Re : Equations fonctionnelles

Bonjour !

Evidemment, on peut aussi chercher les fonctions g telles que g(x+y) = g(x) g(y), pour tous x et y réels ...

B-m