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GigaMegaKilo

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Résolution d'une équation

Bonjour a tous,

Je suis bloqué sur une équation avec un inconnu (y2) et je n'arrive pas a trouver le résultat final que je connais y=sqrtN/2

Je comprends pas du tout comment faire le code latex donc je vous envoi une photo de l’équation.
https://i.imgur.com/PjE7C5u.png

On remplace x2 et y1 par ses valeur en y2, mais après je bloque quand on a des y2 en numérateur et en dénominateur.

Si vous pouvez m'aidez avec les étapes intermédiaires ça serai super!

Bonne journée.

jjostypm

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Re : Résolution d'une équation

Bonjour

Je comprends que c'est la dernière transformation qui vous bloque: comment passe-ton de $-\frac{1}{2} \frac{1}{\hat{y}_2}+ \frac{1}{\hat{y}_2}-  \frac{2\hat{y}_2}{N}=0$ à $\hat{y}_2 = \frac{\sqrt{N}}{2}$.

Etape par étape:

Etape 1:  On commence par simplifier $-\frac{1}{2} \frac{1}{\hat{y}_2}+ \frac{1}{\hat{y}_2}$ en  $\frac{1}{2} \frac{1}{\hat{y}_2}$, pour obtenir que cette équation équivaut à
$$ \frac{1}{2} \frac{1}{\hat{y}_2} -  \frac{2\hat{y}_2}{N}=0$$

Etape 2: On multiplie les deux termes de cette équation par $ 2 N \hat{y}_2$, supposé non nul, pour obtenir de façon équivalente
$$ N -  4 \left(\hat{y}_2\right)^2=0$$

Etape 3:  Si $N$ est supposé positif (il manque l'énoncé pour justifier cette hypothèse), on identifie l'identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ avec ici $a=\sqrt{N}$ et $b = 2 \hat{y}_2$ pour écrire que c'est équivalent à

$$ \left( \sqrt{N} - 2 \hat{y}_2 \right) \left( \sqrt{N} + 2 \hat{y}_2 \right) = 0$$

C'est une équation produit nul, qui se vérifie pour les valeurs $\hat{y}_2 = + \frac{\sqrt{N}}{2}$ et $\hat{y}_2 = - \frac{\sqrt{N}}{2}$.

Etape 4: Là encore, il manque un élément de l'énoncé pour éliminer la solution négative $\hat{y}_2 = - \frac{\sqrt{N}}{2}$ et conclure que cette équation produit nul est équivalente à $\hat{y}_2 = \frac{\sqrt{N}}{2}$

J'espère que c'est plus clair. J'imagine que c'est l'étape 2 qui vous manquait.
Cordialement
JJO

Dernière modification par jjostypm (12-06-2023 20:37:22)

GigaMegaKilo

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Re : Résolution d'une équation

Bonjour

Merci beaucoup!

En effet N est un facteur de production positif et c'est bien la multiplication par 2Ny que je comprends pas trop( est-ce tout simplement pour enlever les fraction?)

Merci encore une fois.

Bonne journée

jjostypm

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Re : Résolution d'une équation

Bonjour

En effet les manipulations que l'on opère sur l'équation vise à la simplifier, souvent pour isoler d'un coté une variable dont on souhaite expliciter la valeur ($\hat{y}_2$ dans le cas de votre exercice).

Les manipulations les plus courantes sont

*) ajouter/retrancher un même terme de part et d'autre de l'équation
$$  a + 3 x = 2x + b \quad \Leftrightarrow  \quad   x = b - a \quad \text{(on a ajouté } -a-2x \text{ des deux cotés )} $$

**) multiplier/diviser par un même facteur non nul de part et d'autre de l'équation
$$  \frac{3}{2y} x^3 = 15xy^2 - \frac{1}{3}x \quad \Leftrightarrow \quad   x^2 = 2y \left(5y^2-\frac{1}{9}\right) \\ \text{(on a multiplié par } \frac{2y}{3x} \text{ des deux cotés )} $$

Il est important de maintenir l'équivalence entre l'équation initiale et sa "transformée". Si on multiplie par $0$ les termes d'une équation, on aboutit à quelque chose de nécessairement vrai, mais sans intérêt.

***) utiliser le fait que le terme que l'on cherche est l'argument d'une fonction bijective dont on connaît la réciproque 
$$  \exp( x^{-2} ) = y^2 +1 \quad \Leftrightarrow  \quad   x^{-2} = \ln( y^2+1) \\
\text{(on a utilisé que } t\longmapsto \exp(t) \text{ est une bijection de } \mathbb{R} \text{ sur } \mathbb{R}_+^* \text{ de fonction réciproque }  t\longmapsto \ln(t)   \text{ ) }$$

Le fait d'utiliser des fonctions et leurs réciproques sans les restreindre sur les domaines où elles sont bijectives est une source commune d'erreur. Un erreur courante de ce type survient lorsqu'on tente de prendre la racine carrée. Ainsi par exemple $x^2 = 4 $ n'est pas équivalent à $x = 2$, mais à $\left|x\right|=\sqrt{4}$, c'est-à-dire à $x \in \left\{-2,+2\right\}$.

Bonne soirée
JJO

Dernière modification par jjostypm (13-06-2023 04:59:49)