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kadaide

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Croisement de deux voitures

Bonjour,
Voiture A, départ à 8 h, vitesse 100 km/h
Voiture B, départ à 8h 30, vitesse 150 km/h, sens inverse, distance AB=800 km
Déterminer l'heure de croisement des deux voiture.

Je me rappelle des formules avec décalage du temps et j'applique:
A: y=100t
B: y=-150(t-1/2)+800
     y=-150t+875
-150(t-1/2)+800=100t
t=3h 30min
A et B se croisent au bout de 3h 30 min.

Je ne me rappelle plus comment retrouver le raisonnement de l'équation de B ?
Merci d'avance.

yoshi

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Re : Croisement de deux voitures

Bonjour,

Je court-circuite ton problème :
- Au moment t (calculé depuis 8 h) de leur croisement, la somme des distances parcourues sera de 800 km
- Au moment t (calculé depuis 8 h) de leur croisement, le véhicule A roulera depuis un temps $t$ et le B depuis un temps $                                        \left(t-\frac 1 2\right)$
- Les distances parcourues seront $x_A = 100t$ et $x_B+150\left(t-\frac 1 2\right)$

L'équation étant $x_A+x_B=800$, elle devient donc :
$100t+150\left(t-\frac 1 2\right)=800$
$\Leftrightarrow$
$100t+150t-75 =800$
$\Leftrightarrow$
$250t-75 =800$
$\Leftrightarrow$
$250t =875$
$t=\frac{875}{250}=\frac{35\times 25}{10\times 25}=\frac{35}{10}=3,5$ (3h 30 min)
On a donc
$x_A=100\times 3,5=350$ (km)
$x_B=(3,5 -0,5) = 150\times 3 = 450$ (km

Vérification 350+450 =800

2e méthode
Au lieu de sommer les distances, je vais simplement écrire que, au moment du croisement, A roule depuis 1/2 h de plus que B :
$t_A=t_B+\frac 1 2$ et les distances parcourues sont $x_A$ et $800-x_A$.
Soit $x$ la distance parcourue par A.
On a  $t_A=\frac{x}{100}$
B a parcouru $800-x$
On a $t_B= \frac{800-x}{150}$

L'équation sur les temps s'écrit donc :
$\frac{x}{100}=\frac{800-x}{150}+\frac 1 2$
Je mets tout au même dénominateur :
$\frac{3x}{300}=\frac{2(800-x)}{300}+\frac{150}{300}$
Je multiplie les 2 membres par 300 pour me débarrasser des dénominateurs :
$3x = 2(800-x)+150$
$\Leftrightarrow$
$3x = 1600-2x+150$
$\Leftrightarrow$
$5x=1750$
$\Leftrightarrow$
$x=\frac{1750}{5}$
$\Leftrightarrow$
$x=350$
Le véhicule A aura parcouru 350 km à 100 km/h en 3 h 30 min.
Le véhicule B aura lui parcouru 450 km (800 - 350) en (450/150) 3 h.

Vérification
$t_A =3 h 30$ et $t_B=3 h$
On a bien $t_A=t_B+\frac 1 2$ (en h)

Je me rappelle des formules avec décalage du temps et j'applique:

Kessèkça ? des formules avec décalage du temps ? Moi, en principe, j'connais pas...
Je t'ai montré que la seule formule qui vaille c'est distance parcourue (en km) = vitesse (en km/h) x temps (en h), soit en abrégé :
$d= v\times t$ et ses dérivées $v=\frac d t$ et $t =\frac d v$

Attention kadaide, tu devrais méditer cette phrase : Science sans conscience n'est que ruine de l'âme !
(Cette phrase écrite en 1532 par Rabelais est encore tout actuelle)
Autrement dit, ici, elle peut s'interpréter comme suit : ingurgiter des formules par cœur, et être capable de les retrouver (reconstruire) en cas de trou de mémoire en est une autre !
J'en sais quelque chose : ça m'est arrivé pendant l'épreuve de mon Bac, mais j'étais préparé à cette éventualité...

@+

Zebulor

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Re : Croisement de deux voitures

Bonjour,
tite variante moins académique :

sinon on peut voir qu'entre 8h et 8h30, A roule à 100km/h pendant 30 mn et parcourt donc 50 km.
A 8h30, B démarre et fonce vers A et leur distance est à ce moment là 800-50=750 km. A et B se rapprochent à une vitesse de 100+150=250 km/h, et se croisent donc au bout de $t=\dfrac {d}{v}=\dfrac {750}{250}$=3 heures.

Conclusion: A et B se croisent au bout de 30 mn+3h=3h30mn

Dernière modification par Zebulor (03-06-2023 21:36:11)

Blubber

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Re : Croisement de deux voitures

Je me rappelle des formules avec décalage du temps et j'applique:

Kessèkça ? des formules avec décalage du temps ? Moi, en principe, j'connais pas...
Je t'ai montré que la seule formule qui vaille c'est distance parcourue (en km) = vitesse (en km/h) x temps (en h), soit en abrégé :
$d= v\times t$ et ses dérivées $v=\frac d t$ et $t =\frac d v$

Je ne suis pas certain de comprendre ce qu'a écrit kadaide (comprend-il lui-même ce qu'il a écrit ?) mais si on suppose que les voitures sont en mouvements rectilignes uniformes alors l'équation horaire est $$x=v_x\times t+x_0$$ avec $x_0$ l'abscisse initiale et $v_x$ le module de la vitesse (donc $+v_x$ ou $-v_x$ selon le sens de parcours), ce qui donne bien, dans le cas présent
$$\begin{cases}
x=100t \\
x=-150(t-\frac{1}{2})+800
\end{cases}$$
car la première voiture part du point $0$ et la deuxième voiture part avec une demi-heure de retard du point $800$.

Ce qui est logique finalement : tu pars d'un point de départ $x_0$ et tu avances à une certaine distance à la vitesse $v_x$ en un temps $t$.

Bref, quoi qu'il en soit, il est tard donc j'ai peut-être fait une erreur mais j’obtiens
$$
\begin{aligned}
\begin{cases}
x=100t \\
x=-150(t-\frac{1}{2})+800
\end{cases}
&\iff
\begin{cases}
x=100t \\
100t=-150t+75+800
\end{cases}
\\&\iff
\begin{cases}
x=100t \\
250t=875
\end{cases}
\\&\iff
\begin{cases}
x=100t \\
t=\frac{875}{250}=\frac{7}{2}=3,5
\end{cases}
\\&\iff
\begin{cases}
t=3,5\text{ h}=3\text{h} 30 \text{min}\\
x=100\times 3,5=350 \text{km}
\end{cases}
\end{aligned}
$$
Les voitures se croisent donc au bout de 3h30 lorsque la première à parcours 350km et donc la seconde 450km.

Dernière modification par Blubber (04-06-2023 10:41:47)

Zebulor

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Re : Croisement de deux voitures

re,
Correct en effet ..
$$
\begin{aligned}
\begin{cases}
x_A=100t \\
x_B=-150(t-\frac{1}{2})+800
\end{cases}
\end{aligned}.
$$
Et Pour $t$ valant 1/2 soit une demi heure, on a $x_A=50 km$ et $x_B=800 km$

Dernière modification par Zebulor (04-06-2023 06:51:12)

yoshi

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Re : Croisement de deux voitures

Bonjour,

tite variante moins académique :

Pourquoi moins académique ? Parce que la solution est en arithmétique pure ?...
Bah ! Bah ! Bah !
Qui parmi les jeunes saurait encore raisonner ainsi ?
Très attaché au "Devoir de mémoire", je pense qu'il faut sauvegarder ce patrimoine mathématique !
J'y ai pensé cette nuit et m'était promis de la publier ce matin...
Tu m'as devancé !

MAIS, et ça m'a tenu réveillé un sacré moment, je voulais aussi réussir à traiter ce problème commue l'un de ces antiques  problèmes dit de fausse supposition (programmes autour des années 57/58).
Pour ceux qui n'auraient aucune idée de quoi je parle voici un exemple.
On répartit 8L d'eau entre des bouteilles de 0,75 L et 0,5 L. Il y a 14 bouteilles en tout...
Quel est le nombre de bouteilles de 0,5 L et de 0,75 L.
La méthode est immuable.
Fausse supposition : on bloque tout en bouteilles de 0,75 L (ou en 0,5 L, et dans ce cas, il y aura un manque à combler)
On dispose donc de 0,75 L * 14 = 10,5
Donc, on a 2,5 L de trop.

Si je remplace 1 bouteille de 0,75L par une bouteille de 0,5 L je diminue l'excédent de 0,25 L...
Combien de fois faut-il répéter l'opération ?
Mais 2,5 /0,25, soit 10 fois...
J'ai donc 10 bouteilles d'eau de 0,5 L et 4 de 0,75 L.
Vérification 0,75 * 4 = 3  et 0,5 * 10 = 5 et on a bien 5+3=8...
C'est assez simple...
                  ------------------------------------------------------------------
Par contre, résoudre ainsi le problème de kadaide, m'a bien demandé 1 h.
La méthode est assez "capillotractée".
J'ai pris le problème à 8 h 30, où il ne restait plus que 750 km à parcourir.
Fausse supposition : les deux voitures roulent à 150 km/h (dans l'autre sens, les calculs étaient plus pénibles à faire dans le noir, au lieu de dormir...)
Elles  se rencontreront donc après 750/300= 2,5 soit 2 h 30 min
Elles n'auront réellement parcouru que (100+150)*2,5 = 625, soit 625 km.
Il s'en faut encore de 125 km pour qu'elles se croisent.
A chaque h qui passe, elle se rapprochent de 250 km.
Elles doivent donc encore rouler 125/250 = 0,5  soit 1/2 h.
Les deux véhicules se croiseront donc à 11 30 min.
A aura parcouru 100*(3+0,5)= 350 km
B aura parcouru 150 * 3 = 450 km

Et on a bien 350 + 450 = 800.

La méthode de résolution par fausse supposition n'était pas vraiment adaptée à ce problème : la méthode classique proposée par zebulor s'imposait !...

[HS]Je sais, vous allez peut-être trouver mon intervention déplacée...
Mais TF1 a mis 20 ans pour rentrer dans les clous (et encore... ils ont une émission dont le titre est 20 mn inside...
La plupart des panneaux publicitaires sur les routes utilisent encore mn et non min.
Je me suis "battu" des années durant avec un collègue - au demeurant prof de techno - qui, lui, refusait en toute conscience d'utiliser min  en lieu et place de mn :
<< C'est une c*nnerie ! >> qu'il disait, << Je refuse de changer ! >>
J'étais encore relativement jeune à l'époque, quand une année, en septembre, j'avais reçu des manuels dans mon casier où l'unité min remplaçait mn (encore en cours en juin !)...
J'avais épluché les bouquins pour trouver explication du changement !
Rien ! Nada ! Circulez,y a rien à voir...
Les années suivantes, j'avais suivi les bouquins sans autre explication...
Des années plus tard, c'était remonté à la surface et j'avais entrepris des recherches pour retrouver la date du changement  (à tout le moins sa mention) sur Internet...

Je n'ai jamais renoncé et ce n'est que bien plus tard que je suis tombé - par hasard -  sur cette mention :
Le symbole de la minute est min, depuis 1975.
Le symbole mn n'a été d'usage officiel qu'entre 1948 et cette date.
Décret n° 75-1200 du 23 déc. 1975 relatif aux unités de mesure et au contrôle des instruments de mesure.

Cela dit, 48 ans plus tard, je ne sais toujours pas pourquoi...  J'en suis réduit aux conjectures !
Peut-être la trop grande proximité typographique de l'époque entre les symboles d'unités mm et mn ?
Cette pensée m'est venue suite à mon obstination 3 mois durant (puis j'ai capitulé) à essayer de faire prononcer à un de mes élèves de 6e : l'unité  mm : milli- mètre et lui répondait invariablement : << Oui, mini mètre >> !
Bon, il n'avait pas complètement tort , s'pas ? [/HS]

@+

kadaide

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Re : Croisement de deux voitures

Merci pour vos réponses.

yoshi a écrit :
Kessèkça ? des formules avec décalage du temps ? Moi, en principe, j'connais pas...]

Quand j'étais au lycée, le prof parle de "décalage du temps" pour dire "le temps qui sépare le départ entre les deux voitures, ici c'est 30min".
Il me semble bien que maintenant on dit: "rattrapage de ..." d'après quelques vidéos que j'ai vu il y'a longtemps.

Blubber

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Re : Croisement de deux voitures

Bonjour yoshi.

À mon avis tu te tortures trop l'esprit. Le symbole min (tout comme s qui a remplacé sec ou ') provient du Système International des Unités qui a cherché à produire un système cohérent en évitant le plus possible les ambiguités. C'est d'ailleurs ce qu'on peut lire ici à la page 35

Il n’est pas autorisé d’utiliser des abréviations pour les symboles et noms d’unités, comme sec (pour s ou seconde), mm car. (pour mm$^2$ ou millimètre carré), cc (pour cm$^3$ ou centimètre cube), ou mps (pour m/s ou mètre par seconde). L’utilisation correcte des symboles des unités du SI et des unités en général, dont il a été fait mention dans les chapitres précédents de cette brochure, est obligatoire. C’est ainsi que l’on évite les ambiguïtés et les erreurs de compréhension concernant les valeurs des grandeurs.

Ainsi, par exemples

• m -> mètre et n -> quantité de matière

• m -> milli et N -> Newton.

min évite donc de confondre mn avec, à titre d'exemples, "milli-newton", "milli-quantité de matière" ou encore "mètre-newton" ou "mètre-quantité de matière".

Dernière modification par Blubber (04-06-2023 13:20:01)

Zebulor

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Re : Croisement de deux voitures

Re,

Qui parmi les jeunes saurait encore raisonner ainsi ?
Très attaché au "Devoir de mémoire", je pense qu'il faut sauvegarder ce patrimoine mathématique !

@yoshi : C'est la question que je me suis posée après avoir répondu au sujet. Parce que la difficulté est aussi de savoir s'adapter à l'auditoire et probablement qu'en tant qu'ado je n'aurais pas raisonné comme dans mon post précédent.
Moins académique ? je voulais dire par là que ma méthode de résolution ne viendrait pas spontanément en tête d'un collégien..
Souci légitime que de vouloir sauvegarder ce patrimoine auquel tu fais allusion

Dernière modification par Zebulor (04-06-2023 16:51:10)