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plem06

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Définition colinéarité ?

Bonjour,

J'ai trouvé la def suivante dans un manuel scolaire pour des vecteurs colinéaires :
Deux vecteurs [tex]\vec{u}[/tex] et [tex]\vec{v}[/tex] sont colinéaires si il existe [tex]\lambda[/tex] réel non nul tel que [tex]\vec{u}=\lambda\vec{v}[/tex] ou [tex]\vec{v}=\lambda\vec{u}[/tex]. Remarque : le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur"... qui me semble bien compliqué

Pourquoi ne pas dire : Deux vecteurs [tex]\vec{u}[/tex] et [tex]\vec{v}[/tex] sont colinéaires si il existe [tex]\lambda[/tex] réel tel que [tex]\vec{u}=\lambda\vec{v}[/tex] ?

Mais il y a apparemment une question piège aux oraux du CAPES qui dit : " Peut-on dire que deux vecteurs [tex]\vec{u}[/tex] et [tex]\vec{v}[/tex] sont colinéaires si il existe un scalaire [tex]\lambda[/tex] tel que [tex]\vec{u}=\lambda\vec{v}[/tex] ? EXPLIQUEZ "

...Du coup y' a sûrement une astuce qui m'échappe !

Pouvez-vous m'ouvrir les yeux ?

Merci !

(Rem : désolé, pas pu poster ça dans "Leçons CAPES", car bizarrement, pas moyen de créer de nouvelle discussion dans cette rubrique alors que ça marche ici (???))

Pierre

plem06

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Re : Définition colinéarité ?

Pardon, je précise le texte de la question CAPES :
Mais il y a apparemment une question piège aux oraux du CAPES qui dit : " Peut-on dire que deux vecteurs ⃗u et ⃗v d'un espace vectoriel sont colinéaires si et seulement si il existe un scalaire λ tel que ⃗u=λ⃗v ? EXPLIQUEZ "

Roro

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Re : Définition colinéarité ?

Bonsoir,

" Peut-on dire que deux vecteurs ⃗u et ⃗v d'un espace vectoriel sont colinéaires si et seulement si il existe un scalaire λ tel que ⃗u=λ⃗v ? EXPLIQUEZ "

Cette définition ne fonctionne pas avec $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ et $\overrightarrow{u}$ quelconque non nul : ils sont colinéaires mais il n'existe aucun réel $\lambda$ tel que $\overrightarrow{u} = \lambda \overrightarrow{0}$.

La notion de colinéarité étant "symétrique" ($\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si et seulement si $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{u}$ le sont), il est plus facile d'avoir une définition "symétrique".

Tu peux par exemple dire : $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $a\overrightarrow{u} + b \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$.

Avec cette dernière définition on se rapproche de la notion de famille liée qui est la généralisation à plus de deux vecteurs...

Roro.

Dernière modification par Roro (02-06-2023 20:08:51)

plem06

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Re : Définition colinéarité ?

Bonjour Roro et merci de ce retour.

Cette définition ne fonctionne pas avec $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ et $\overrightarrow{u}$ quelconque non nul : ils sont colinéaires mais il n'existe aucun réel $\lambda$ tel que $\overrightarrow{u} = \lambda \overrightarrow{0}$.

Effectivement, je n'avais pas fait attention.
La définition avec la famille liée est aussi intéressante, mais peut être moins intuitive pour un public de lycéens.

Mais du coup, dans la définition du bouquin, pourquoi imposer [tex]\lambda[/tex] non nul pour ensuite ajouter qu'en fait le vecteur nul est aussi colinéaire à tout autre vecteur (et qui du coup correspond à [tex]\lambda[/tex] nul !) : ne pourrait-on pas dire simplement : deux vecteurs ⃗u et ⃗v sont colinéaires si il existe  λ réel non nul tel que ⃗u=λ⃗v ou ⃗v=λ⃗u. Remarque : le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur" ?

Roro

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Re : Définition colinéarité ?

Bonsoir,

La définition avec la famille liée est aussi intéressante, mais peut être moins intuitive pour un public de lycéens.

Peut être, mais pourquoi pas : j'ai l'impression que c'est surtout parce qu'on l'a nous même appris ensuite qu'elle nous parait moins "intuitive". Mais en réfléchissant un peu ce n'est pas si sorcier, et c'est peut être une bonne façon de faire réfléchir sur cette question... comme tu l'as fait lorsque tu as voulu comprendre !

Mais du coup, dans la définition du bouquin, pourquoi imposer [tex]\lambda[/tex] non nul pour ensuite ajouter qu'en fait le vecteur nul est aussi colinéaire à tout autre vecteur (et qui du coup correspond à [tex]\lambda[/tex] nul !) : ne pourrait-on pas dire simplement : deux vecteurs ⃗u et ⃗v sont colinéaires si il existe  λ réel non nul tel que ⃗u=λ⃗v ou ⃗v=λ⃗u." ?

Oui, je suis d'accord avec toi.

Roro.

Dernière modification par Roro (04-06-2023 20:27:18)