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walterwhitecoocking

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Famille génératrice et unicité des coefficients

Bonjour,

On dit qu'une famille est génératrice de E si c'est une famille de vecteurs d'un espace vectoriel dont les combinaisons linéaires permettent de construire tous les autres vecteurs de l'espace
Pour le prouver en exercice il faut que les coefficients devant les vecteurs de famille génératrice s'écrivent de manière unique pour tout u vecteur de E.
Quand on entend "de manière unique" pour l'écriture des coefficients, on veut dire par là que pour un vecteur donné il n'y a qu'un seul moyen d'écrire les coefficients devant le vecteur ?
Par exemple pour u = (1,0,1), v = (0,1,1) pour montrer que vect (u, v) n'est pas générateur de R3 (sans passer par les dimensions) on trouve en écrivant la combinaison w = au +bv et en passant au système que :
a = x
b = y
a = z-y
Et que du coup comme a s'écrit comme a = x et a = z-y, l'écriture de a n'est pas unique donc la famille u, v n'est pas génératrice ? C'est bien dans ce sens là qu'on voit le "de manière unique" ?

Roro

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Re : Famille génératrice et unicité des coefficients

Bonjour,

Il y a un premier point que je ne comprend pas dans ce que tu écris :

Tu commences par dire : "On dit qu'une famille est génératrice de E si c'est une famille de vecteurs d'un espace vectoriel dont les combinaisons linéaires permettent de construire tous les autres vecteurs de l'espace".

C'est effectivement une définition de famille génératrice. Mais puisque c'est une définition, on ne peut pas la prouver. Cela n'a aucun sens de "prouver" une définition !

Je ne comprend pas vraiment ce que tu fais ensuite. Tu veux montrer que la famille (u,v) avec u = (1,0,1), v = (0,1,1) n'est pas génératrice dans $\mathbb R^3$. Dans ce cas, il faut que tu trouves un vecteur $w$ qui ne soit pas combinaison linéaire de ces deux vecteurs. Tu peux par exemple vérifier facilement que $w=(1,0,1)$ n'est pas combinaison linéaire de $(u,v)$.

Je ne vois pas trop ce que viens faire l'unicité la dedans.

Roro.

Dernière modification par Roro (29-04-2023 15:06:51)

walterwhitecoocking

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Re : Famille génératrice et unicité des coefficients

Bonjour,

Oui en effet ma question porte sur comment on prouve qu'une famille est génératrice. Dans mon cas j'exprime les coefficients et si ils sont unique alors la famille est génératrice.

Dans l'exemple que je prend c'est pour expliquer j'entend quoi par exprimer de manière unique mais oui on pourrai juste trouver un contre exemple pour dire que ce n'est pas générateur ou passer par les dimensions. La où j'ai un problème c'est pour montrer qu'une famille est génératrice (sans passer par la dimension et montrer que la famille est une base).

Par exemple pour montrer que e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) et e3=(0,0,1) est générateur, on écrit :
Pour tout u appartenant à R3, on écrit u = (x,y,z) : a*e1 + b*e2+c*e3 = u.
On écrit le système et on trouve :
x = a
y= b
z = c
Les vecteurs a,b,c s'écrivent de manière unique donc on peut en conclure que e1,e2,e3 est une famille génératrice.
C'est pour la justification à la fin, a,b,c sont unique veut dire que pour un vecteur u donné, il n'existe qu'un unique triplet (a,b,c) qui permet d'exprimer u en fonction  de e1,e2,e3 ?

Donc si pour une autre famille on trouve a = x et a = x-y on peut en conclure que la famille n'est pas génératrice ?

Walter.

Dernière modification par walterwhitecoocking (29-04-2023 15:21:17)

Roro

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Re : Famille génératrice et unicité des coefficients

Re,

Je pense que tu n'as pas vraiment saisi cette histoire de famille génératrice. Ce que tu écris ici :

Oui en effet ma question porte sur comment on prouve qu'une famille est génératrice. Dans mon cas j'exprime les coefficients et si ils sont unique alors la famille est génératrice.

est faux. Encore une fois, je ne vois pas le lien entre génératrice et unicité des coefficients.

Un exemple : la famille $(u=(1,0),v=(0,1),w=(1,1))$ est une famille génératrice dans $\mathbb R^2$, et pourtant je peux écrire le vecteur $t=(1,1)$ dans cette famille de deux façons différentes :
$$t=1.u+1.v+0.w \quad \text{et aussi} \quad t=0.u+0.v+1.w$$

De manière générale lorsque tu as une famille génératrice, tu peux ajouter n'importe quel vecteur sans changer le caractère générateur.

J'ai l'impression que tu mélanges cette notion de famille génératrice et celle de famille libre...

Roro.

Dernière modification par Roro (29-04-2023 16:50:41)

walterwhitecoocking

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Re : Famille génératrice et unicité des coefficients

Re,

Oui en effet en bossant dessus ce n'est pas que les coefficients doivent être unique c'est que si on obtient un système avec plusieurs solution, on doit se restreindre et donc poser un (ou des) coefficients égale à 0 pour obtenir un système à solution unique et là on peut conclure.
Merci beaucoup.