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walterwhitecoocking

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Deux vecteurs linéairement indépendant pour tout x

Bonjour,

Pour montrer que deux vecteurs sont linéairement indépendant avec pour vecteur deux fonctions, pourquoi si pour un x fixé on trouve que les vecteurs sont indépendant on peut en conclure que pour tout x, les vecteurs sont indépendant ? Par exemple pour u = cos(a*x) et v = sin(a*x), on cherche à montrer qu'ils sont libre donc on écrit : mu+nv = 0. Pourquoi si on prouve qu'avec x  = 0 et x = pi/2*a on a bien m = 0 et n = 0 pour seul solution on peut généraliser et dire que pour tout x, on a bien m = 0 et n = 0 et donc qu'ils sont libre pour tout x ?

Glozi

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Re : Deux vecteurs linéairement indépendant pour tout x

Bonjour,
Attention tu te mélange les pinceaux, reprenons calmement.
Tu as $u$ et $v$ deux vecteurs de l'espace vectoriel $\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ (espace des fonctions réelles de la variable réelle). Ainsi $u$ et $v$ sont deux fonctions. dans ton cas $u(x) = \cos(ax)$ et $v(x)=\sin(ax)$.
Dire que la famille $(u,v)$ est libre (que les vecteurs sont linéairement indépendants) signifie : $\forall \lambda,\mu \in \mathbb{R}, \lambda u +\mu v = 0 \Rightarrow \lambda=\mu=0$.

Notons au passage que $\lambda u +\mu v =0$ signifie en fait $\forall x \in \mathbb{R}, \lambda u(x) + \mu v(x)=0$. (on parle de la fonction nulle)

Prenons donc $\lambda, \mu\in \mathbb{R}$ tels que $\lambda u + \mu v =0$, le but est de montrer que $\lambda = \mu = 0$. Pour cela on peut en particulier évaluer $\lambda u+\mu v$ en certains points $x$ intéressants. Le but est de conclure qu'alors $\lambda = \mu=0$.

Attention : $u$ et $v$ linéairement indépendants n'implique PAS que $u(x)$ et $v(x)$ sont linéairement indépendants pour un $x$ fixé, si c'est ce que tu voulais dire à la fin.

Bonne journée

walterwhitecoocking

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Re : Deux vecteurs linéairement indépendant pour tout x

Oui en effet ! Je comprend la démarche seulement c'est la dernière partie qui me coince (Prenons donc λ,μ∈R tels que λu+μv=0, le but est de montrer que λ=μ=0. Pour cela on peut en particulier évaluer λu+μv en certains points x intéressants. Le but est de conclure qu'alors λ=μ=0.) Pourquoi quand on évalue en certains point intéressant qui nous permette de trouver facilement que n = m = 0, on peut dire que pour n'importe qu'elle valeur de x l'équation nu+mv=0 à pour unique solution n=m=0 (si je me trompe pas quand on pose la question montrer que u et v sont linéairement indépendant on veut le montrer pour tout x )?
Dans mon esprit si ça marche pour un x en particuliers ça ne veut pas forcément dire que pour les autres x on obtient aussi que n=m=0.

Glozi

Invité

Re : Deux vecteurs linéairement indépendant pour tout x

Je pense que ce qui te pose problème c'est que dire que $u$ et $v$ sont indépendants (en tant que fonctions) ne revient en aucun cas que à dire pour $x$ fixé alors $u(x)$ et $v(x)$ sont linéairement indépendants.

(Pire : en fait dans ton cas on peut montrer que $u(x)$ et $v(x)$ seront toujours liés quelque soit le $x$, pourtant $u$ et $v$ sont linéairement indépendants).

Pourquoi quand on évalue en certains point intéressant qui nous permette de trouver facilement que n = m = 0, on peut dire que pour n'importe qu'elle valeur de x l'équation nu+mv=0 à pour unique solution n=m=0

Ce n'est pas le cas : par exemple pour $x=0$ alors $u(x) = \cos(ax)=1$ et $v(x) = \sin(ax)=0$. Ici $\lambda=0$ et $\mu=1$ conviennent pour avoir $\lambda u(x) + \mu u(x)=0$.

Nous ce qu'on suppose c'est qu'on a $\lambda, \mu$ tels que $\forall x\in \mathbb{R},\ \  \lambda u(x) + \mu v(x)=0$. En particulier, $\lambda$ et $\mu$ ne dépendent pas du $x$ choisi (ce qui nous permet de fixer $\lambda$ et $\mu$ puis de choisir les $x$ qu'on veut).

(si je me trompe pas quand on pose la question montrer que u et v sont linéairement indépendant on veut le montrer pour tout x )?

Je ne comprends pas ce que tu veux dire ? Si tu veux dire qu'on veut montrer que pour tout $x$, alors $u(x)$ et $v(x)$ sont indépendants, alors la réponse est NON, ce n'est pas ce qu'on veut montrer.

Observe la différence,
$u$ et $v$ sont indépendants :
$$\forall \lambda,\mu \in \mathbb{R}, \ \ \left[ (\forall x\in \mathbb{R}, \  \lambda u(x) + \mu v(x)=0)\Rightarrow \lambda=\mu=0\right].$$
Pour tout $x$, $u(x)$ et $v(x)$ sont indépendants :
$$\forall x\in \mathbb{R},\  \forall \lambda,\mu \in \mathbb{R},\ \  \lambda u(x) +\mu u(x) = 0 \Rightarrow \lambda=\mu=0.$$

Bonne journée

walterwhitecoocking

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Re : Deux vecteurs linéairement indépendant pour tout x

Oui j'y vois plus clair maintenant, je prenais le problème à l'envers merci beaucoup.

Bonne journée