Forum de mathématiques - Bibm@th.net

beubeunoit

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Unicité de l'élément neutre dans un groupe

Bonjour,

Je me demandais si dans un groupe nous pouvons avoir plusieurs éléments neutres ?

Merci d'avance de votre réponse.

Blubber

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Re : Unicité de l'élément neutre dans un groupe

Supposons que tu as deux éléments neutres $e$ et $e'$ alors pour tout $x\in G$ tu as
$$e'\oplus x=x=x\oplus e'$$
Maintenant si tu substitues $e$ à $x$ tu as
$$e'\oplus e=e=e\oplus e'$$
Les éléments d'un groupe étant symétrisables, tu as aussi
$$e\oplus e'=e'=e'\oplus e$$

L'élément neutre est donc unique.

Eust_4che

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Re : Unicité de l'élément neutre dans un groupe

Bonjour,

On peut généraliser à toute loi, pas forcémement celle d'un groupe. L'unicité d'un élément neutre pour une loi est une conséquence de sa définition. D'après Bourbaki :

Pour une loi de composition $T$ sur un ensemble $E$, un élément $e$ de E est dit élément neutre si, pour tout $x \in E$, on a $e T x = x T e = x$.

Aussitôt : si $e'$ est un deuxième élément neutre pour $T$, on a $eTe' = e$ et $eTe' = e'$, donc $e = e'$.

E.

beubeunoit

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Re : Unicité de l'élément neutre dans un groupe

Merci de vos réponses. Mais alors pourquoi dans la définition d'un groupe (par exemple sur bibmath mais aussi Wikipedia) on dit seulement "qu'il existe un élément neutre" et pas ..existe un UNIQUE élément neutre ?
Ou sinon est-ce "il existe un.."est la même chose que "il existe un unique ..." ?

Fred

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Re : Unicité de l'élément neutre dans un groupe

Non, ce n'est pas la même chose de dire "il existe un" et "il existe un unique".
Je pense qu'on donne cette définition, car elle est plus facile à vérifier : si je veux démontrer que (G,*) est un groupe, il suffit que je prouve qu'il admet un élément neutre. Avec la définition plus forte, il faudrait que je prouve en plus qu'il est unique, même si c'est automatique et que c'est toujours le cas.

F.

beubeunoit

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Re : Unicité de l'élément neutre dans un groupe

Ok j'ai compris, merci de ta réponse !