Forum de mathématiques - Bibm@th.net

beubeunoit

Membre

Inscription : 13-03-2023

Messages : 33

Dériver intégrale généralisée sur R

Bonjour,

Je n'arrive pas à trouver la méthode pour exprimer f'(x) en fonction de f(x)

tel que f :
$x \rightarrow f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} exp(tx)exp(-t^2)dt $

avec f une application de R dans R.
J'ai essayé en dérivant F(+infini)-F(-infini) mais ça n'a rien donner...

Merci d'avance de votre réponse

Gui82

Membre

Inscription : 03-08-2022

Messages : 126

Re : Dériver intégrale généralisée sur R

Bonjour,

Tu peux calculer l'intégrale pour exprimer f directement, puis calculer la dérivée.
edit : pour calculer l'intégrale, tu peux combiner les 2 exponentielles en une seule

Dernière modification par Gui82 (05-04-2023 20:18:52)

Vincent62

Membre

Inscription : 26-05-2022

Messages : 314

Re : Dériver intégrale généralisée sur R

Bonjour,

Ou alors, tu peux aussi vérifier les hypothèses du théorème de dérivation sous le signe intégral : https://www.bibmath.net/dico/index.php? … metre.html
Il s'agit en effet ici d'une intégrale à paramètre.

beubeunoit

Membre

Inscription : 13-03-2023

Messages : 33

Re : Dériver intégrale généralisée sur R

Merci pour vos réponses mais je ne m'en sors pas, je ne vois pas de primitives.

Gui82

Membre

Inscription : 03-08-2022

Messages : 126

Re : Dériver intégrale généralisée sur R

Tu as [tex]\displaystyle \mathrm{exp}(tx)\mathrm{exp}(-t^2)=\mathrm{exp}(tx-t^2)=\mathrm{exp}\left(-\left(t-\frac{x}{2}\right)^2+\frac{x^2}{4}\right)=\mathrm{exp}\left(\frac{x^2}{4}\right)\mathrm{exp}\left(-\left(t-\frac{x}{2}\right)^2\right)[/tex]
Ensuite tu t'en sors en utilisant un changement de variables et la valeur de l'intégrale de Gauss : [tex]\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{exp}(-t^2)\,dt=\sqrt{\pi}[/tex]

beubeunoit

Membre

Inscription : 13-03-2023

Messages : 33

Re : Dériver intégrale généralisée sur R

Ok j'ai compris avec ta méthode mais pas avec celle de Vincent62?

Gui82

Membre

Inscription : 03-08-2022

Messages : 126

Re : Dériver intégrale généralisée sur R

La méthode de Vincent62 consiste à dériver sous l'intégrale. Si tu as une fonction définie par [tex]\displaystyle f(x)=\int g(t,x)\,dt[/tex], sous les bonnes hypothèses (voir le lien qu'il a mis), sa dérivée se calcule comme ceci : [tex]\displaystyle f'(x)=\int \frac{\partial g}{\partial x}(t,x)\,dt[/tex]
En faisant ce calcul, tu trouveras la réponse en faisant une intégration par parties.

beubeunoit

Membre

Inscription : 13-03-2023

Messages : 33

Re : Dériver intégrale généralisée sur R

Bonjour,

Merci pour vos réponses.

Cordialement