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Autodidacte

Invité

Exercice géométrie

Bonjour,
Je bloque sur l'exercice suivant:

Soit [tex]k[/tex] un nombre réel différent de [tex]0[/tex] et de [tex]1[/tex] . On considère dans le plan [tex]\mathcal{P}[/tex] trois points [tex]A,B\text{ et }C[/tex] tels que [tex]\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}[/tex] , et les cercles [tex](\Gamma_1)\text{ et }(\Gamma_2)[/tex] de diamètres respectifs [tex][AB]\text{ et }[AC][/tex] . Une droite [tex](\Delta)[/tex] non perpendiculaire à [tex](AB)[/tex] et distincte de [tex](AB)[/tex] , passant par [tex]A[/tex] , coupe les cercles [tex](\Gamma_1)\text{ et }(\Gamma_2)[/tex] respectivement en [tex]M\text{ et }N[/tex] .
1-a) Montrer que les droites [tex](BM) \text{ et }(CN)[/tex] sont parallèles .
b)) Pour quelle valeur de [tex]k[/tex] les droites [tex](BN)[/tex] et [tex](CM)[/tex] sont-elles parallèles ?
2)On prend [tex]k=\dfrac{3}{2}\text{ et }AB=4\text{ cm}[/tex] .
On note [tex]P[/tex] le point d'intersection des droites [tex](BN)\text{ et }(CM)[/tex] .
On considère l'homothétie [tex]h[/tex] de centre [tex]P[/tex] telle que [tex]h(B)=N[/tex] .
a)Démontrer que [tex]h(M)=C[/tex] .
b) Déterminer le rapport de [tex]h[/tex] .
3-a) Déterminer le réel [tex]\beta[/tex] tel que [tex]\overrightarrow{BP}=\beta\overrightarrow{BN}[/tex] .
b)Déterminer la nature et les éléments géométriques du lieu géométrique [tex](\Sigma)[/tex] du point [tex]P[/tex] lorsque la droite [tex](\Delta)[/tex] varie .
c) Construire [tex](\Sigma)[/tex] .

J'ai réussi le 1-a) 
La droite [tex](\Delta)[/tex] passant par [tex]A[/tex] coupe le cercle [tex](\Gamma_2)[/tex] de diamètre [tex][AC][/tex] en [tex]N[/tex]. Alors le triangle [tex] ANC[/tex] est rectangle en [tex]N[/tex]. Il s'ensuit alors que [tex](AN)\perp (CN) \text{ ; or }(\Delta)=(AN)\text{ d'où }(\Delta)\perp(CN)[/tex]
De même, [tex](\Delta)[/tex] coupe le cercle [tex](\Gamma_1)[/tex] de diamètre [tex][AB][/tex] en [tex]M[/tex]. Alors le triangle [tex] AMB[/tex] est rectangle en [tex]M[/tex]. Il s'ensuit alors que [tex](AM)\perp (BM) \text{ ; or }(\Delta)=(AM)=(AN)\text{ d'où }(\Delta)\perp(BM)[/tex]
On obtient donc [tex](\Delta)\perp(CN)\text{ et }(\Delta)\perp(BM)[/tex]
D'où: [tex]\boxed{(BM)//(CN)}[/tex]

Après pour 1-b) , j'ai construit la figure sur geogebra et en faisant glisser le point [tex]C[/tex] (ou [tex]B[/tex]) sur la droite[tex] (AC)=(AB)[/tex] , je tombe sur [tex](BN) // (CM)[/tex] pour [tex]k=-1[/tex] . Mais je n'arrive pas à le démontrer.

Ensuite, pour les questions qui suivent, aucune idée comment procéder...

Pourriez-vous me donner des pistes pour la 1-b) et si possible pour les questions qui suivent?

Merci beaucoup d'avance!

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Exercice géométrie

Bonjour,
Pour le 1a) on pouvait aussi penser à l'homothétie de centre [tex]A[/tex] qui envoie le premier cercle sur le deuxième ...
Pour le 1b) que peux-tu dire du quadrilatère [tex]BMCN[/tex] si [tex](BN)[/tex] et [tex](CM)[/tex] sont parallèles ?

Autodidacte

Invité

Re : Exercice géométrie

Merci de votre réaction :)

1-b) Oui , alors on a montré que [tex](BM)//(CN)[/tex] , alors si de plus on a [tex](BN)//(CM)[/tex], alors [tex]BMCN[/tex] est un parallèlogramme. On a donc [tex]\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{NC}\text{ et }\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{MC}[/tex]
Dois je partir de ces 2 égalités pour aboutir à [tex]k=-1[/tex]? Je ne vois toujours pas comment procéder...

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Exercice géométrie

Réfléchis encore, il y a plusieurs façons d'y arriver.
Par exemple, quelle est l'image du vecteur [tex]\vec{BM}[/tex] dans l'homothétie de rapport [tex]k[/tex] et de centre [tex]A[/tex] ?