CL nulle dont la somme des coefficients est non nulle ???

Werner Franck · 03-04-2023 16:47:05

Bonjour tout le monde,
Je planche depuis quelques heures sur le problème suivant : j'ai à ma disposition une famille génératrice de taille quelconque d'un R-espace de dimension finie n >= 1, je me demande si je peux construire une combinaison linéaire nulle avec les éléments de cette famille dont la somme des coefficients est non nulle.
Merci de votre aide,
Bien cordialement,

Dernière modification par Werner Franck (03-04-2023 17:13:19)

Ginger40 · 03-04-2023 19:17:33

Bonjour,

Tu as 2 cas possibles :
- Si ta famille génératrice est libre, alors tu disposes d'une base de ton espace (c'est le cas quand ta famille génératrice a pour cardinal la dimension de ton espace vectoriel). Alors à ce moment-là, si une combinaison linéaire de ta famille génératrice est égale au vecteur nul, nécessairement tous tes coefficients sont nuls (car la famille est libre / une base) donc on ne peut pas avoir une somme non nulle.

- Si ta famille est génératrice mais non libre, c'est possible. A noter que nécessairement dans ce cas $p >n$ où $p$ désigne le cardinal de ta famille génératrice. Exemple en dimension 2 :
$$
\vec{e_1} = (1;0), \quad \vec{e_2} = (0;1), \quad \vec{e_3} = (1;1) = \vec{e_1} + \vec{e_2}
$$
La famille $(\vec{e_1}; \vec{e_2}; \vec{e_3})$ est génératrice car $(\vec{e_1}; \vec{e_2})$ est une base de $\mathbb{R}^2$.
Ainsi on a :
$$
\vec{e_1} + \vec{e_2} - \vec{e_3} = \vec{0}
$$
et
$$
1+1-1 = 1 \neq 0
$$
Et on peut appliquer le même principe pour un espace vectoriel de dimension quelconque.

Dernière modification par Ginger40 (03-04-2023 19:53:05)

Fred · 03-04-2023 19:57:41

Salut,

Pour compléter la réponse de Ginger40, dans le cas d'une famille génératrice mais non libre, c'est parfois possible comme son exemple le montre, parfois impossible : si $e_1=(1,0),\ e_2=(1,0)$ et $e_3=(0,1)$, si $a e_1+be_2+ce_3=0,$ tu as $c=0$ et $a+b=0,$ donc $a+b+c=0$.

F.

Werner Franck · 03-04-2023 21:12:10

Merci beaucoup pour vos réponses. J'avais bien compris ceci et c'est pourquoi j'ai précisé que ma famille pouvait être de cardinal aussi grand que souhaité, en particulier strictement plus grand que la dimension. Pour votre exemple Fred, vous n'employez qu'une famille de taille la dimension de l'espace + 1, mais quant est-il avec une famille de taille la dimension de l'espace + 4 ? Si je vous donne une famille génératrice de taille infinie (qui contient une infinité d'éléments distincts), êtes-vous capable de montrer que toute CL nulle a pour somme des coefficients 0 ? Bien cordialement et encore merci de vos réponses.

Ginger40 · 03-04-2023 22:04:26

Re,

Tout d'abord merci Fred d'avoir complété ma réponse.
Si vous voulez le faire pour une famille de taille quelconque, il faut étendre ce que Fred et moi avons proposé et le tour est joué !

Pour s'en convaincre :

-Cas où on peut avoir une CL nulle mais une somme des coefficients non nuls
Si je veux le faire pour une famille génératrice de taille finie $p\in \mathbb{N}^*$ quelconque ($p>2$ car sinon ça ne peut pas être une famille génératrice). Je reprends mes vecteurs $\vec{e_1} = (1;0),\vec{e_2} = (0;1),\vec{e_3} = (1;1) = \vec{e_1} + \vec{e_2}$ puis je rajoute $p-3$ vecteurs nuls i.e. $\vec{e_4} = (0;0),\vec{e_5} = (0;0), \dots , \vec{e_{p-1}} = (0;0),\vec{e_p} = (0;0)$.
On obtient alors une famille génératrice de $p$ vecteurs de $\mathbb{R}^2$. A partir de là on peut écrire :
$$
\vec{e_1} + \vec{e_2} - \vec{e_3} + 0.\vec{e_4} + \dots + 0.\vec{e_{p-1}} + 0.\vec{e_p}= \vec{e_1} + \vec{e_2} - \vec{e_3} + \vec{0} + \dots + \vec{0} = \vec{0}
$$
Et la somme des coefficients vaut :
$$
1 + 1 - 1 + 0 + \dots + 0 = 1
$$
Si on veut maintenant le faire pour une famille dénombrable de vecteurs, on peut définir la suite des vecteurs telle que :
$$
\left\{\begin{array} \\
\vec{e_1} = (1;0),\vec{e_2} = (0;1),\vec{e_3} = (1;1) \\
\forall i \geq 4, \vec{e_i} = (0;0)
\end{array}\right.
$$
Et le principe reste le même, on peut simplement prendre les 3 premiers vecteurs pour obtenir une combinaison linéaire nulle mais dont la somme des coefficients est non nulle.

-Cas où on ne peut jamais avoir une CL nulle mais une somme des coefficients non nuls
On reprend les 3 vecteurs de Fred, mais en changeant un peu l'ordre : $\vec{e_1} = (0;1),\vec{e_2} = (1;0),\vec{e_3} = (1;0)$. Pour avoir une famille de cardinal $p\in\mathbb{N}^*$ quelconque, on peut rajouter à ces 3 premiers vecteurs les vecteurs $\vec{e_4} = (1;0),\vec{e_5} = (1;0), \dots , \vec{e_{p-1}} = (1;0),\vec{e_p} = (1;0)$.
De la même manière, si :
$$
\sum_{i=1}^p \lambda_i \vec{e_i} = (0;0)
$$
Alors
$$
\lambda_1 = 0, \quad \sum_{i=2}^p \lambda_i = 0
$$
D'où :
$$
\sum_{i=1}^p \lambda_i = 0
$$
Si on veut le faire avec une famille dénombrable, on peut poser la suite :
$$
\left\{\begin{array}\\
\vec{e_1} = (0;1),\vec{e_2} = (1;0),\vec{e_3} = (1;0)\\
\forall i \geq 4, \vec{e_i} = (1;0)
\end{array}\right.
$$
Et avec cette famille de vecteurs, par le même raisonnement que Fred a montré, toute combinaison linéaire nulle implique que la somme des coefficients est nulle.

NB : en relisant je viens de voir que vous vouliez éventuellement une contrainte en plus qui est que la famille "contient une infinité d'éléments distincts".
Je pense alors qu'on peut poser la suite :
$$
\left\{\begin{array}\\
\vec{e_1} = (0;1)\\
\forall i \geq 2, \vec{e_i} = \left(\frac{1}{i};1-\frac{1}{i}\right)
\end{array}\right.
$$
Si on suppose alors qu'une combinaison linéaire est nulle, et en notant $P$ le dernier élément scalaire non nul :
$$
\sum_{i=1}^P \lambda_i \vec{e_i} = \vec{0} \Rightarrow \left\{\begin{array}\\
\sum_{i=2}^P\lambda_i \frac{1}{i}= 0\\
\lambda_1 + \sum_{i=2}^P\lambda_i \left(1-\frac{1}{i}\right)= 0
\end{array}\right.
$$
En sommant les deux équations on obtient :
$$
\lambda_1 + \sum_{i=2}^P\lambda_i \left(1-\frac{1}{i} + \frac{1}{i}\right) = 0 \Rightarrow \sum_{i=1}^P \lambda_i = 0
$$

Dernière modification par Ginger40 (03-04-2023 22:24:54)

Werner Franck · 06-04-2023 13:17:17

Rebonjour, désolé je vois bien ce que vous voulez me dire mais je pense m'être trop mal exprimé. C'est en fait plus difficile qu'il n'y parait. Les vecteurs de la famille génératrice sont fixés, vous ne pouvez les choisir. On se demande si, étant donnée une famille injective génératrice de taille n+2 (en dimension n donc) par exemple s'il existe une CL nulle dont la somme des coefficients est non nulle.
Je prend ici l'exemple n+2 car il est évident que n+1 n'est pas tout le temps vrai. En effet, si le n+1 i-ème vecteur est combinaison linéaire des n premiers (sans perte de généralité, la famille n'est pas libre), on comprend bien que la somme des coefficients de la combinaison linéaire doit être différent de 1, ceci pour tout vecteur qui n'est pas un des n-premiers vecteurs, absurde dans le cas général, ceci expliquant le "+2".
Qu'en est-il avec une famille injective de taille infinie et génératrice, fixée à l'avance, je ne demande pas s'il en existe une mais si on peut déterminer à l'avance si oui ou non cela marche (s'il n'y a pas de disjonctions de cas à faire, c'est la question que je me pose).

Dernière modification par Werner Franck (06-04-2023 13:17:36)

Michel Coste · 06-04-2023 15:12:13

Bonjour,
Travaillons dans [tex]\mathbb R^2[/tex]. Posons [tex]e_0=(1,0)[/tex], [tex]e_1=(0,1)[/tex] et pour tout [tex]n\geq 2[/tex], [tex]e_n=\left(\dfrac{n-1}{n},\dfrac{1}{n}\right)[/tex]. Alors toute combinaison linéaire nulle des [tex](e_0,e_1,e_2,\ldots,e_n,\ldots)[/tex] a tous ses coefficients nuls la somme de ses coeffcients nulle.
Exercice : le démontrer.
[Edit : coquille signalée par Ginger]

Dernière modification par Michel Coste (06-04-2023 15:28:15)

Ginger40 · 06-04-2023 15:14:37

Bonjour,

Je ne suis pas sûr de comprendre ce que vous voulez...

Werner Franck a écrit :

On se demande si, étant donnée une famille injective génératrice de taille n+2 (en dimension n donc) par exemple s'il existe une CL nulle dont la somme des coefficients est non nulle.

Déjà qu'est-ce que vous entendez par "famille injective" ? Que tous les éléments sont différents ?
Sinon, en reprenant le message juste avant, on a conclu que ça peut, comme ça peut ne pas ! Cela dépend de la famille en question. Peut-être cherchez-vous une condition nécessaire et suffisante pour avoir "Combinaison linéaire nulle $\Rightarrow$ somme des coefficients nulle" ?

Werner Franck a écrit :

Je prend ici l'exemple n+2 car il est évident que n+1 n'est pas tout le temps vrai. En effet, si le n+1 i-ème vecteur est combinaison linéaire des n premiers (sans perte de généralité, la famille n'est pas libre), on comprend bien que la somme des coefficients de la combinaison linéaire doit être différent de 1, ceci pour tout vecteur qui n'est pas un des n-premiers vecteurs, absurde dans le cas général, ceci expliquant le "+2".

Qu'est-ce qui n'est pas tout le temps vrai ? Le fait de trouver une combinaison linéaire nulle dont la somme des coefficients est non nulle ? Vous chercheriez donc à savoir "est-ce que pour toute famille génératrice de taille $n+1$ on peut disposer d'une combinaison linéaire nulle dont la somme des coefficients est non nulle ?" ?
A ce moment-là, l'exemple qu'a donné Fred permet de conclure que non, et la généralisation que j'ai faite pour une famille de taille $n+k$ permet de montrer que ce n'est pas non plus vrai dans le cas d'une famille de taille $n+2$ notamment.
(Par contre il est vrai que le message ne fait référence qu'au cas $n=2$, mais le principe peut s'étendre à un $n$ quelconque)

Werner Franck a écrit :

Qu'en est-il avec une famille injective de taille infinie et génératrice, fixée à l'avance, je ne demande pas s'il en existe une mais si on peut déterminer à l'avance si oui ou non cela marche (s'il n'y a pas de disjonctions de cas à faire, c'est la question que je me pose).

Pour "déterminer à l'avance si oui ou non cela marche" vous voulez donc une condition nécessaire et suffisante sur la famille ?
Parce qu'avec : "s'il n'y a pas de disjonctions de cas à faire", perso je comprends que vous voulez savoir si la propriété "on peut disposer d'une combinaison linéaire nulle mais dont la somme des coefficients est non nulle" est vraie pour n'importe quelle famille génératrice...

Peut-être que je m'embrouille le cerveau à force d'y réfléchir et que je me prends la tête pour rien ! Si c'est le cas je laisserai une personne ayant un regard plus frais que le mien finir la discussion...

Ginger40 · 06-04-2023 15:22:05

Michel Coste a écrit :

Bonjour,
Travaillons dans [tex]\mathbb R^2[/tex]. Posons [tex]e_0=(1,0)[/tex], [tex]e_1=(0,1)[/tex] et pour tout [tex]n\geq 2[/tex], [tex]e_n=\left(\dfrac{n-1}{n},\dfrac{1}{n}\right)[/tex]. Alors toute combinaison linéaire nulle des [tex](e_0,e_1,e_2,\ldots,e_n,\ldots)[/tex] a tous ses coefficients nuls.
Exercice : le démontrer.

C'est plutôt "a la somme de ses coefficients non nuls" Michel non ? Sinon ça voudrait dire que la famille est libre, ce qui poserait un petit problème...

Bernard-maths · 06-04-2023 15:29:03

Bonjour à tous !

En vous lisant, je pense que le problème a bien été expliqué !

Ce qui me "dérange" c'est l'avant dernière demande de Werner : une famille injective de dimension n+2 ...???

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (06-04-2023 15:43:25)

Michel Coste · 06-04-2023 15:34:50

Oui, mon clavier a fourché ;)
En complément : soit [tex](v_i)_{i\in I}[/tex] une famille de vecteurs d'un espace vectoriel de dimension finie.
Les propriétés suivantes sont équivalentes :
1°) toute combinaison linéaire nulle des [tex]v_i[/tex] a la somme de ses coefficients nulle.
2°) il existe une forme linéaire [tex]\varphi[/tex] telle que [tex]\varphi(e_i)=1[/tex] pour tout [tex]i\in I[/tex]. (Autrement dit, tous les vecteurs appartiennent à un hyperplan affine ne passant pas par l'origine.)

Dernière modification par Michel Coste (06-04-2023 15:37:13)

Glozi · 06-04-2023 15:47:31

Bonjour,
Non, il y a toujours des familles génératrices de cardinal arbitrairement grand (qui contiennent que des vecteurs différents si tu veux) telle que si une CL est nulle alors la somme des coeffs est forcément $0$.

Explication :
Disons que $E$ est un ev réel de dimension finie $n\geq 2$.
On pose $(e_1,\dots,e_n)$ une base de $E$.
Pour $p\geq 1$ on va rajouter $p$ vecteurs à la famille $(e_1,\dots,e_n)$ tout en conservant la propriété que toute CL nulle admet une somme des coeffs qui vaut $0$.
On pose $\Delta := \{(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in \mathbb{R}^n | \sum_{i=1}^n \lambda_i =1\}$.
On choisi comme on veut $\lambda^{(1)},\dots, \lambda^{(p)}$ des élements de $\Delta$. (j'ai choisi $n\geq 2$ pour qu'on puisse choisir des éléments à 2 différents si on veut).

On pose pour $j=1,\dots,p$, $e_{n+j} := \sum_{i=1}^n \lambda^{(j)}_i e_i$.
Autrement dit le vecteur $e_{n+j}$ s'écrit dans la base $(e_1,\dots,e_n)$ avec les coordonnées données par le $n$-uplet $\lambda^{(j)}$.

Alors $(e_1,\dots,e_n,e_{n+1},\dots,e_{n+p})$ est une famille génératrice qui vérifie la propriété souhaitée.

▼voilà pourquoi

NB : si tu veux une famille génératrice infinie avec cette même propriété, tu peux prendre n'importe quel sous ensemble $\Lambda \subset \Delta$ qui est infini. Et considérer $\mathcal{G}=\{e_\lambda\}_{\lambda\in \Lambda} \cup\{e_1,\dots,e_n\}$
(où pour $\lambda \in \Delta$, on pose $e_\lambda := \sum_{i=1}^n \lambda_i e_i$.)

Bonne journée

Michel Coste · 06-04-2023 15:55:31

@Glozi : ça rentre dans l'équivalence que j'ai énoncée.

Glozi · 06-04-2023 18:11:49

Oui heureusement !
C'est juste une construction explicite qui m'est venue à l'esprit. Au passage, je ne l'ai pas dit dans mon précédent message, mais clairement on ne peut ajouter à $(e_1,\dots,e_n)$ que des vecteurs de type $e_\lambda$ (pour $\lambda\in \Lambda$) si on veut conserver cette propriété de somme des coeffs nulle dans toute CL nulle.
Bonne journée

Michel Coste · 06-04-2023 18:39:45

Glozi a écrit :

on ne peut ajouter à $(e_1,\dots,e_n)$ que des vecteurs de type $e_\lambda$ (pour $\lambda\in \Lambda$) si on veut conserver cette propriété de somme des coeffs nulle dans toute CL nulle.

Oui, ça fait aussi partie de l'équivalence que j'ai énoncée. ;)

Werner Franck · 07-04-2023 07:59:31

Merci beaucoup pour vos exemples, c'est exactement ce que je cherchais. Je me demandais si c'était tout le temps vrai ou tout le temps faux moyennant certaines conditions sur la taille de la famille injective et génératrice (injective dans le sens où ses éléments sont deux à deux distincts). Bonne continuation à tous et encore merci.

Dernière modification par Werner Franck (07-04-2023 08:03:38)

Michel Coste · 07-04-2023 09:23:00

J'écris la démonstration (facile) de l'équivalence des deux propriétés :

1°) Toute combinaison linéaire nulle des [tex]v_i[/tex] a la somme de ses coefficients nulle.
2°) Il existe une forme linéaire [tex]\varphi[/tex] telle que [tex]\varphi(e_i)=1[/tex] pour tout [tex]i\in I[/tex].

Supposons 1°). Soit [tex]J\subset I[/tex] tel que [tex](e_j)_{j\in J}[/tex] soit une sous-famille libre maximale. Il existe une forme linéaire [tex]\varphi[/tex] telle que [tex]\varphi(e_j)=1[/tex] pour tout [tex]j\in J[/tex]. Pour tout [tex]i\in I[/tex], il existe une unique famille à support fini [tex](\lambda_j)_{j\in J}[/tex] de scalaires telle que [tex]e_i=\sum_{j\in J}\lambda_je_j[/tex], et [tex]\sum_{j\in J}\lambda_j=1[/tex] d'après 1°). Donc [tex]\varphi(e_i)=\sum_{j\in J}\lambda_j\varphi(e_j)=1[/tex].

Supposons 2°) et soit [tex]\sum_{i\in I}\lambda_ie_i=0[/tex] une combinaison linéaire nulle. Alors [tex]0=\varphi(\sum_{i\in I}\lambda_ie_i)=\sum_{i\in I}\lambda_i\varphi(e_i)=\sum_{i\in I}\lambda_i[/tex].
Cette démonstration montre que l'hypothèse de dimension finie est inutile (si l'on admet l'axiome du choix).

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 03-04-2023 16:47:05

CL nulle dont la somme des coefficients est non nulle ???

#2 03-04-2023 19:17:33

Re : CL nulle dont la somme des coefficients est non nulle ???

#3 03-04-2023 19:57:41

Re : CL nulle dont la somme des coefficients est non nulle ???

#4 03-04-2023 21:12:10

Re : CL nulle dont la somme des coefficients est non nulle ???

#5 03-04-2023 22:04:26

Re : CL nulle dont la somme des coefficients est non nulle ???

#6 06-04-2023 13:17:17

Re : CL nulle dont la somme des coefficients est non nulle ???

#7 06-04-2023 15:12:13

Re : CL nulle dont la somme des coefficients est non nulle ???

#8 06-04-2023 15:14:37

Re : CL nulle dont la somme des coefficients est non nulle ???

#9 06-04-2023 15:22:05

Re : CL nulle dont la somme des coefficients est non nulle ???

#10 06-04-2023 15:29:03

Re : CL nulle dont la somme des coefficients est non nulle ???

#11 06-04-2023 15:34:50

Re : CL nulle dont la somme des coefficients est non nulle ???

#12 06-04-2023 15:47:31

Re : CL nulle dont la somme des coefficients est non nulle ???

#13 06-04-2023 15:55:31

Re : CL nulle dont la somme des coefficients est non nulle ???

#14 06-04-2023 18:11:49

Re : CL nulle dont la somme des coefficients est non nulle ???

#15 06-04-2023 18:39:45

Re : CL nulle dont la somme des coefficients est non nulle ???

#16 07-04-2023 07:59:31

Re : CL nulle dont la somme des coefficients est non nulle ???

#17 07-04-2023 09:23:00

Re : CL nulle dont la somme des coefficients est non nulle ???

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