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pentium mix

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Matrice d'une rotation

Bonjour
S'il vous plait je n'arrive pas a déterminer les éléments caractéristiques de cette rotation
https://www.cjoint.com/c/MCBkHIpHdh6
J'ai déjà répondu a la première question je suis au niveau de la seconde
Merci

Michel Coste

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Re : Matrice d'une rotation

Bonjour,
Quelle est ta réponse à la première question ?

pentium mix

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Re : Matrice d'une rotation

Bonjour,
Quelle est ta réponse à la première question ?

Pour que la matrice soit celle d'une rotation, il faut qu'elle soit orthogonale et de déterminant 1
C'est a dire que ab+ac+bc=0 , a^2+b^2+c^2=1 et a+b+c=1
Cela signifie que les coefficients a,b,c sont solution du polynôme donné avec K=bac
Ensuite pour terminer, ce trinôme doit avoir exactement 3 racines reelles
Ce qui permet, après études des variations du polynôme d'ecrire 0<=K<=4/27

Voilà

Michel Coste

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Re : Matrice d'une rotation

OK.
Il n'est pas trop difficile de trouver l'axe de la rotation (droite propre de vecteur propre associé 1).
Pour l'angle de rotation [tex]\theta[/tex], on peut commencer par se souvenir de ce qu'est la trace d'une matrice de rotation d'angle [tex]\theta[/tex].

plem06

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Re : Matrice d'une rotation

Bonsoir !

Bon alors désolé, mais je ne viens pas apporter une réponse (je pense que l'indication de Michel suffit), mais poser des questions sur le raisonnement initial qui me met en difficulté :

1a) Je ne comprends pas comment on arrive aussi facilement aux expressions ab+ac+bc=0 , a^2+b^2+c^2=1 et a+b+c=1 en partant du fait que la matrice est orthogonale et de det=1... Pour ma part :
- det=1 donne a³+b³+c³=1
- Dire que les vecteurs colonne ou ligne de la matrice sont orthogonaux amène tout au plus une seule équation ab+ac+bc=0 par produit scalaire
--> Je ne comprends pas comment tu arrives aussi directement à tes équations et comment on peut dire qu'elles correspondent au polynome recherché
- Donc pour ma part j'utilise A^-1 = ^tA avec la comatrice, ce qui amène directement le système a³=a²+abc, b³=b²+abc, c³=c²+abc, qui correspondent donc tous les 3 à l'équation du polynôme indiqué avec k=abc. Mais ça m'intéresserait de comprendre ton approche.

1b) Pour la réciproque, c'est pareil, je suis sec. D'où vient l'idée que ce polynôme doit avoir exactement trois racines réelles ? J'avoue que je ne comprends même pas d'où il sort, ce polynôme, le seul auquel je pense serait le polynôme caractéristique, mais qui, pour une rotation, devrait être homogène à un (x-1) [(x-cos(theta))² + sin²(theta)] non ? (donc 3 racines réelles uniquement pour theta=0 ou PI) ?

Merci de votre aide !

Pierre

Dernière modification par plem06 (28-03-2023 18:31:11)

Michel Coste

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Re : Matrice d'une rotation

Tu oublies que les colonnes (et les lignes) d'une matrice orthogonale forment une base orthonormée, et en particulier sont de norme 1.
Tu t'es trompé dans ton calcul de déterminant. Ce n'est pas [tex]a^3+b^3+c^3[/tex]. Tous calculs faits, c'est [tex](a+b+c)^3[/tex].
Si on connaît [tex]a+b+c[/tex] et [tex]ab+bc+ca[/tex], on connaît deux des coeffcients du polynôme unitaire de degré 3 dont [tex]a,b,c[/tex] sont racines. Les relations coefficients-racines, ça te dit quelque chose ? Enfin, ce polynôme de degré trois se doit d'avoir trois racines réelles : les coefficients d'une matrice de rotation sont réels, n'est-ce pas ?

Dernière modification par Michel Coste (28-03-2023 20:23:37)

plem06

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Re : Matrice d'une rotation

Merci pour ce complément Michel, mais il manque encore quelques pièces à mon puzzle.
Ca m'énerve, je me dis que ça doit être juste devant mes yeux, mais je n'y arrive pas :

1)
a) Pour le déterminant, en fait c'est plutôt a³+b³+c³-3abc  (= 1)  non ?
selon première colonne : (-1)² a(a²-bc) + (-1)³ c(ab-c²)+(1)⁴b(b²-ac) ?
b) Si je ne me suis pas trompé ci-dessus (une vérif à la calculatrice semble me dire que non), comment trouve-t-on le a+b+c=1 alors ?
c) Merci pour mon oubli sur le fait que matrice orthogonale --> vecteurs orthonormés donc a²+b²+c²=1
Et merci aussi pour les relations racines/coeffs dont j'avais oublié certaines !

2) Pour la réciproque :
Quel est ce polynôme en fait ? Pas le polynome carac quand même ? Une rotation, c'est pas diagonalisable en général, donc  si c'était lui, il devrait pas avoir 3 racines de toute façon...
Tu me dis que les coeffs d'une rotation sont réels : soit, mais, sauf erreur, son polynome carac est pas scindé : en dimension 3, on n'a qu'une racine si elle n'est pas l'identité ou une symétrie axiale, non ?

Merci !

pentium mix

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Re : Matrice d'une rotation

L'énoncé dis que a, b, c sont racine du polynôme. Ces racines sont réelles et c'est un polynôme de degré 3 sur R

Merci pour ce complément Michel, mais il manque encore quelques pièces à mon puzzle.
Ca m'énerve, je me dis que ça doit être juste devant mes yeux, mais je n'y arrive pas :

1)
a) Pour le déterminant, en fait c'est plutôt a³+b³+c³-3abc  (= 1)  non ?
selon première colonne : (-1)² a(a²-bc) + (-1)³ c(ab-c²)+(1)⁴b(b²-ac) ?
b) Si je ne me suis pas trompé ci-dessus (une vérif à la calculatrice semble me dire que non), comment trouve-t-on le a+b+c=1 alors ?
c) Merci pour mon oubli sur le fait que matrice orthogonale --> vecteurs orthonormés donc a²+b²+c²=1
Et merci aussi pour les relations racines/coeffs dont j'avais oublié certaines !

2) Pour la réciproque :
Quel est ce polynôme en fait ? Pas le polynome carac quand même ? Une rotation, c'est pas diagonalisable en général, donc  si c'était lui, il devrait pas avoir 3 racines de toute façon...
Tu me dis que les coeffs d'une rotation sont réels : soit, mais, sauf erreur, son polynome carac est pas scindé : en dimension 3, on n'a qu'une racine si elle n'est pas l'identité ou une symétrie axiale, non ?

Merci !

pentium mix

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Re : Matrice d'une rotation

OK.
Il n'est pas trop difficile de trouver l'axe de la rotation (droite propre de vecteur propre associé 1).
Pour l'angle de rotation [tex]\theta[/tex], on peut commencer par se souvenir de ce qu'est la trace d'une matrice de rotation d'angle [tex]\theta[/tex].

Quand je fait cela je n'utilise l'hypothèse donné nulle part

Michel Coste

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Re : Matrice d'une rotation

Pour le déterminant, en fait c'est plutôt a³+b³+c³-3abc  (= 1)  non ?

Sais-tu transformer cette quantité (qui est symétrique en [tex]a,b,c[/tex]) en polynôme en les polynômes symétriques élémentaires [tex]a+b+c[/tex], [tex]ab+bc+ca[/tex] et [tex]abc[/tex] ? (et te souvenir que [tex]ab+bc+ca = 0[/tex]).

comment trouve-t-on le a+b+c=1 alors ?

Une fois que tu as mené au bout le calcul du déterminant comme suggéré ci-dessus, ça tombe tout seul.

Quel est ce polynôme en fait ? Pas le polynome carac quand même ?

Pourquoi cette fixation sur le polynôme caractéristique ? Il est bien dit dans l'énoncé qu'il s'agit du polynôme de degré 3 dont [tex]a,b,c[/tex] sont les trois racines. Il n'a rien à voir avec le polynôme caractéristique ! Mais tout à voir avec les polynômes symétriques élémentaires de [tex]a,b,c[/tex] (relations coefficients-racines, j'insiste une nouvelle fois).

Michel Coste

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Re : Matrice d'une rotation

Quand je fait cela je n'utilise l'hypothèse donné nulle part

Qu'est-ce que ça veut dire ?

plem06

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Re : Matrice d'une rotation

Merci de ta réponse Michel,

- Pour les polynômes symétriques, ça ne me parlait pas, j'ai fait un coup de wikipédia, et j'avais effectivement pas étudié ces polynômes là en école d'Ingé.
- Pour le polynôme -pas- caractéristique, je pense que j'étais biaisé par cours sur les endomorphismes où je n'ai pratiqué que des exercices où la notion de polynôme était systématiquement reliée à celle du polynôme caractéristique. Je comprends mieux le cadre plus ouvert de l'énoncé à présent.

Petite question complémentaire : pour montrer le "ssi" : faut-il décomposer la résolution en une implication et puis démontrer la réciproque, ou bien est-ce qu'on peut avoir des équivalences tout le long du raisonnement (Je ne vois pas où ça coincerait...)

Pierre

Michel Coste

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Re : Matrice d'une rotation

L'étude des polynômes symétriques ne fait pas partie du programme du CAPES.
Ici :
[tex]\begin{align} a^3+b^3+c^3-3abc&=(a+b+c)^3-3(a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b))-9abc\\ &= (a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ca)\end{align}[/tex]
et on sait déjà que [tex]ab+bc+ca=0[/tex].

Michel Coste

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Re : Matrice d'une rotation

La matrice est une matrice de rotation si et seulement si [tex]a^2+b^2+c^2=1[/tex], [tex]ab+bc+ca=0[/tex] et [tex](a+b+c)^3=1[/tex], ce qui équivaut à [tex]a+b+c=1[/tex] et [tex]ab+bc+ca=0[/tex], autrement dit si et seulement si les trois réels [tex]a,b,c[/tex] sont les racines d'une équation de la forme [tex]x^3-x^2+k=0[/tex].

Dernière modification par Michel Coste (29-03-2023 15:30:33)

Michel Coste

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Re : Matrice d'une rotation

Je recopie mon calcul pour qu'il rentre dans la fenêtre :
[tex]\begin{align} a^3+b^3+c^3-3abc&=(a+b+c)^3-3(a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b))\\&\qquad{}-9abc\\ &= (a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ca)\end{align}[/tex]

plem06

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Re : Matrice d'une rotation

Un grand merci pour ces dernières explications Michel !

Michel Coste

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Re : Matrice d'une rotation

Avec plaisir.
Je me demande si pentium mix a compris mon indication pour le calcul de l'angle de rotation (et même s'il a trouvé l'axe de rotation).

pentium mix

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Re : Matrice d'une rotation

Avec plaisir.
Je me demande si pentium mix a compris mon indication pour le calcul de l'angle de rotation (et même s'il a trouvé l'axe de rotation).

Bien sur je comprend très bien
Sauf que dans mes recherches je suis tombé sur ceci
Du coup je suis un peu perdu
https://www.cjoint.com/c/MCEn0lIk1nc

pentium mix

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Re : Matrice d'une rotation

Avec plaisir.
Je me demande si pentium mix a compris mon indication pour le calcul de l'angle de rotation (et même s'il a trouvé l'axe de rotation).

Bien sur je comprend très bien
Sauf que dans mes recherches je suis tombé sur ceci
Du coup je suis un peu perdu
https://www.cjoint.com/c/MCEn0lIk1nc

La trace de la matrice d'une rotation est égale a 2cosa + 1 ou a est l'angle de la rotation
De la , j'ai l'angle de ma rotation
De plus le sous espace associé a la valeur propre 1 est l'axe de la rotation

C'est juste que je n'aboutit pas au résultat ci-dessus (pour l'angle seulement) et que nulle part dans mon raisonnement je n'utilise l'hypothèse k=......
Et, ça laisse croire que cette hypothèse ne sert a rien

Merci pour vos interventions.
J'ai beaucoup appris

Dernière modification par pentium mix (30-03-2023 16:25:50)

Michel Coste

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Re : Matrice d'une rotation

Puisque [tex]3a[/tex] est la trace de la matrice, [tex]a=\dfrac13(1+2\cos\theta)[/tex], où [tex]\theta[/tex] est l'angle de rotation. On porte cette valeur dans [tex]a^3-a^2+\dfrac4{27} \sin^2\varphi=0[/tex], et on obtient six valeurs possibles pour [tex]\theta[/tex] en fonction de [tex]\varphi[/tex]. C'est normal, vu les permutations sur [tex]a,b,c[/tex].

Dernière modification par Michel Coste (30-03-2023 18:10:26)

pentium mix

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Re : Matrice d'une rotation

Puisque [tex]3a[/tex] est la trace de la matrice, [tex]a=\dfrac13(1+2\cos\theta)[/tex], où [tex]\theta[/tex] est l'angle de rotation. On porte cette valeur dans [tex]a^3-a^2+\dfrac4{27} \sin^2\varphi=0[/tex], et on obtient six valeurs possibles pour [tex]\theta[/tex] en fonction de [tex]\varphi[/tex]. C'est normal, vu les permutations sur [tex]a,b,c[/tex].

Waouhhh
Grand merci

Je n'avais pas compris ça

Merci beaucoup