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walterwhite

Invité

limite avec partie entière et sin.

Bonjour,

J'ai pour question la continuité de la fonction f(x) = E(x).sin(pi*x). Je trouve qu'elle est continue sur R privé Z. Pour l'étude sur Z, je trouve que la limite de f(x) est 0 pour tout n, avec f(n) = 0. Donc continue sur Z donc sur R. Le problème étant que je n'arrive pas a voir comment le produit de E(x) avec sin(pi*x) rend la fonction continue sur Z.

PS : dans ma notation j'utilise E(x) qui correspond à la partie entière.

Merci d'avance.

Michel Coste

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Re : limite avec partie entière et sin.

Bonjour,

Petit exercice :
Soit [tex]f[/tex] une fonction bornée sur [tex][a-1,a+1][/tex] (on ne la suppose pas continue, elle peut être aussi méchante qu'on veut mais elle est bornée sur cet intervalle autour de [tex]a[/tex]). Soit [tex]g[/tex] une fonction continue en [tex]a[/tex] et telle que [tex]g(a)=0[/tex].
Montrer que le produit [tex]fg[/tex] est continu en [tex]a[/tex].

walterwhitecoocking

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Re : limite avec partie entière et sin.

Bonjour ,

On pose h(x) = f(x).g(x), on trouve que la limite en a de h(x) est 0 car f(x) étant borné, f(x) ne  peut pas tendre vers l'infinie donc produit d'un réel avec 0 on trouve lim h(x) quand x tend vers a est 0. On fait pareil pour l'image de h(x) en a et on trouve aussi 0 donc h(x) continue en a.

Du coup ces conditions (f fonction non continue borné et g continue avec g(a)=0) implique pour toutes fonctions h la continuité en a, j'y vois plus clair merci beaucoup.

Michel Coste

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Re : limite avec partie entière et sin.

Ton raisonnement est un peu ole-ole, et ne serait pas accepté dans une copie !

walterwhitecoocking

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Re : limite avec partie entière et sin.

Pour la partie sur la limite du produit f(x).g(x) ?

Michel Coste

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Re : limite avec partie entière et sin.

Oui

walterwhitecoocking

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Re : limite avec partie entière et sin.

Pour la limite de g(x), si g(x) est continue en a cela implique que la limite en a est égale à f(a) = 0, donc lim g(x) quand x tend vers a est 0. Pour la limite de f, f étant borné, cela veut dire qu'il existe M appartenant à R tel que f(x) <= M. Mais du coup on ne peut pas conclure que la limite de f en a est nécessairement un réel ?

Michel Coste

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Re : limite avec partie entière et sin.

"on ne peut pas conclure que la limite de f en a est nécessairement un réel ?"
Non, absolument pas. Prends par exemple pour [tex]f[/tex] la fonction caractéristique de [tex]\mathbb Q[/tex] (qui vaut 1 pour les rationnels et 0 pour les irrationnels).
"f étant borné, cela veut dire qu'il existe M appartenant à R tel que f(x) <= M"
NON ! Cela veut dire qu'il existe [tex]M>0[/tex] tel que pour tout [tex]x[/tex], [tex]|f(x)|\leq M[/tex] ([tex]f[/tex] est majoré et minoré).
On a donc [tex]|h(x)|\leq M\,|g(x)|[/tex] et comme [tex]M\,|g(x)|[/tex] tend vers 0 quand [tex]x[/tex] tend vers a, [tex]h(x)[/tex] tend vers 0 quand [tex]x[/tex] tend vers [tex]a[/tex].

walterwhitecoocking

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Re : limite avec partie entière et sin.

Oui tout à fait ! En écrivant vite j'ai oublié de mettre la valeur absolue. Tout est clair maintenant merci.