Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Beubeunoit

Invité

Extremum local

Bonjour,

Je voulais savoir si par exemple la fonction f(x)= x, avec x un réel, admet un minimum local sur ]5;9[  ? C'est-à-dire la valeur en la plus proche de 5 ?Si oui, alors toutes les valeurs du domaine de définition d'une fonction sont des extremums locaux ?
Si non,
dans le cas où j'ai f(n)=n avec un entier naturel, est-ce que f(n) admet un minimum local en ]5;9[ ? C'est-à-dire que f(6)=6 est un minimum local sur ]5;9[ ? Si oui, alors toutes les valeurs du domaine de définition d'une fonction à valeurs entières sont des extremums locaux ?

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 862

Re : Extremum local

Bonsoir !

Lorsque tu parles d'extrêmum local, c'est que tu te limites à un domaine d'étude "local".

Ainsi f(x) = x admet sur [5 ; 9] un minimum local = 5 et un maximum local = 9 !

MAIS si tu changes l'intervalle d'étude, ALORS ces extrêmums changent aussi, et peuvent même ne plus exister.

Une façon classique de voir ces extrêmums locaux : dans l'étude d'une fonction, on recherche les variations ... dans le tableau de variation, on indique les sens de variation, et aussi les max et min locaux ! Un extrêmum est local si il n'est pas dépassé en un autre point de l'ensemble d'étude !

Voilà, voilà ce que je pense.

Bernard-maths

beubeunoit

Membre

Inscription : 13-03-2023

Messages : 33

Re : Extremum local

Bonsoir,

Merci beaucoup pour ta réponse.
Ainsi chaque point, d'une fonction définie sur un intervalle [a,b], est un maximum local d'un domaine d'étude  différent pour chaque point ?

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 862

Re : Extremum local

Bonjour !

Je te donne le lien pour consulter de la chose sur Bibmath :

https://www.bibmath.net/dico/index.php? … remum.html

Dernière modification par Bernard-maths (14-03-2023 08:00:19)

beubeunoit

Membre

Inscription : 13-03-2023

Messages : 33

Re : Extremum local

En regardant sur le lien que tu m'as envoyé, il est dit "Lorsque E est muni d'une distance ou d'une norme, on peut aussi définir les extrema locaux. On dit que f admet un maximum local (ou relatif) en a s'il existe un voisinage V de a dans E tel que, pour tout x ∈ V , on a f ( x ) ≤ f ( a )"
Qu'appelle-t-on le voisinage ? Est-ce les valeurs infiniment proches de a à gauche et à droite ? et pourquoi pas seulement à droite ou seulement à gauche de a ? Et dans où ma fonction est n² , avec n les entiers relatifs, Chaque n est un maximum et un minimum local ? Car chaque n possède un voisinage ( si on considère que le voisinage de n est à une distance D<<1) mais dont seul la valeur n appartient à ce voisinage (n+1 n'appartient au voisinage car la distance séparant n+1 et n n'est pas très petite par rapport à 1 ( elle est même égale à 1)).

beubeunoit

Membre

Inscription : 13-03-2023

Messages : 33

Re : Extremum local

Merci, donc la courbe x² n'admet qu'un seul minimum local qui est aussi le minimum de la fonction ? Car d'après la définition de minimum et maximum même si on se restreint à regarder l'intervalle [2,5] ( ou ]2;5[ plutôt ?), et que la fonction est définit sur R, 2² n'est pas un minimum local car dans son voisinage infiniment proche il existe un chiffre plus petit que lui (1.99...) ?

Glozi

Invité

Re : Extremum local

Bonsoir,
Je sens qu'il y a énormément de confusion dans l'air et c'est très bien de se poser toutes ces questions, je vais essayer d'apporter un éclaircissement.

Soit $D\subset \mathbb{R}$ un ensemble non vide, et $f : D \to \mathbb{R}$ une fonction. Il est important de noter que $D$ est une donnée du problème. Aussi, lorsque qu'on cherche les min ou les max locaux de $f$ il faut toujours avoir en tête qu'en réalité ce sont les min et max locaux de $f$ définie sur le domaine $D$.

Définition : si $a\in D$ et $f : D \to \mathbb{R}$, on dit que $f$ admet un max local en $a$, s'il existe $\varepsilon >0$ tel que : $\forall x\in ]a-\varepsilon, a+\varepsilon[\cap D,\ \ f(x) \leq f(a)$.

(définition analogue pour min local).

Remarque sur la définition : le voisinage dont tu parles est $]a-\varepsilon, a+\varepsilon[\cap D$, ça c'est pour une fonction de la variable réelle, mais ça s'adapte pour des espaces topologiques plus généraux.

Une autre remarque cette fois complètement inutile et triviale : si $x_0\in D$, alors on peut regarder la restriction de $f$ à $\{x_0\}$, c'est $f_{|\{x_0\}} : \{x_0\} \to \mathbb{R}, x\mapsto f(x)$, alors $f_{|\{x_0\}}$ admet un max local (mais aussi un min local) en $x_0$. Ainsi, tout point du domaine de définition de $f$ est effectivement un max local et un min local pour une certaine restriction de $f$ (dépendant du point). Mais... en pratique cela est complètement inutile. Ce qui est intéressant c'est de parler de min et de max locaux pour une fonction dont le domaine de définition est un intervalle non singleton par exemple !

Maintenant, $f : ]5,9[\to \mathbb{R}$ admet-elle un min local en un certain point ? La réponse est négative. Supposons par l'absurde que $a \in ]5,9[$ réalise un min local de $f$. Par définition il existe $\varepsilon>0$ tel que $\forall x \in ]a-\varepsilon,a+\varepsilon|\cap ]5,9[$, alors $f(x)\geq f(a)$. Or $a>5$ (car $a\in ]5,9[$), et pour tout $5<c<a$ alors $f(c)<f(a)$ (par définition de $f$). Donc la contradiction vient en choisissant $c<a$ tel que $5<c<a$ et $a-\varepsilon < c < a$.

La fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x\mapsto x^2$ admet un min local en $0$ (qui est aussi un minimum global).
En revanche $f : ]2,5[ \to \mathbb{R}, x\mapsto x^2$ n'admet pas de min local.
La fonction $f :\mathbb{R} \to \mathbb{R}, x\mapsto x^2-x^4$ admet un min local en $0$ mais n'admet pas de minimum global (et elle admet deux max locaux).

Si $f : \mathbb{N} \to \mathbb{R}, n \mapsto n$, alors en suivant la définition on voit que $f$ admet un max local et un min local en chaque $n\in \mathbb{N}$. En revanche cela est complètement dénué d’intérêt, puisqu'en fait n'importe quelle fonction $f: \mathbb{N}\to \mathbb{R}$ vérifie cette même propriété. Pour ce genre de fonction ce n'est pas ce genre de notion de min et max local qui nous intéresse.

▼des exemples de fonctions pour voir si c'est compris

Dire si les fonctions suivantes admettent des min ou max locaux (dire combien et où si possible).
$f : \mathbb{R}\to \mathbb{R},x \mapsto 1$,
$f : \mathbb{Q} \to \mathbb{R}, x\mapsto x$
$f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}, x\mapsto \left\{\begin{array}{cc}-x-1 & \text{ si } x<0\\x+1 & \text{ si }x\geq 0\end{array}\right.$
$f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}, x\mapsto \left\{\begin{array}{cc}-x-1 & \text{ si } x\leq 0\\x+1& \text{ si }x> 0\end{array}\right.$
$f : [-10,10]\to \mathbb{R}, x\mapsto x^3-x$.
$f : [0,1] \to \mathbb{R}, x\mapsto \left\{\begin{array}{cc}x & \text{ si } x\in \mathbb{Q}\\ -x &\text{ sinon }\end{array}\right.$

Bonne soirée

beubeunoit

Membre

Inscription : 13-03-2023

Messages : 33

Re : Extremum local

Bonjour,

Merci de ta réponse