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Beubeunoit

Invité

Commuter intégraler et dérivée

Bonjour,

Je me posais une question bête :
Peut-on commuter intégrale et dériver ? Comment le prouver ?
$ \frac{\partial }{\partial x}\int f(x)dx \Leftrightarrow \int \frac{\partial }{\partial x}f(x)dx ? $

Merci d'avance de votre réponse.
Bonne journée.

Zebulor

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Re : Commuter intégraler et dérivée

Bonjour,
ce n'est pas une question bête.
tu peux déjà te demander si ce nombre $\int f(x)dx $ dépend de $x$ sachant que $x$ est la variable d'intégration.
Je vois que tu ne précises pas tes bornes d'intégration... penses tu à des constantes ?
De plus cette écriture $ \frac{\partial }{\partial x}\int f(x)dx$ suppose, pour avoir un sens, que $\int f(x)dx$ dépende de $x$ et d'au moins une autre variable..
Et enfin je ne crois pas que les dérivées partielles sont au programme de lycée...

Dernière modification par Zebulor (01-03-2023 16:08:51)

Beubeunoit

Invité

Re : Commuter intégraler et dérivée

$\frac{\partial }{\partial x} \int fdx=0$
D'après ce que vous me suggérez.
Mais l'intégrale est l'équivalent continu d'une somme discrète de terme.
Avec $\frac{\partial }{\partial x}\sum x$² pour x de 0 à n avec x et n entiers relatifs nous donne envie de faire entre la dérivée dans la somme. Car par analogie avec la dérivée d'un polynome : $\frac{\partial }{\partial x} P(X) $ avec P(X) une fonction polynomiale, on peut faire entrer la dérivée dans la somme du polynome.

Zebulor

Membre expert

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Re : Commuter intégraler et dérivée

Re,
je réponds... partiellement ! :
$\frac{d}{dx} \int f(x) dx=0$ quand les bornes d'intégration sont des constantes. Mais ces bornes peuvent elles mêmes être des fonctions de $x$ ou de $x$ et $y$ par exemple, et dans ce cas l'égalité que tu as écrite n'est pas nécessairement vérifiée.
Dans le cas où les bornes sont des fonctions de $x$ seul ou des constantes, ce n'est pas une dérivée partielle mais un $d$ droit : $\frac{d}{dx} \int f(x) dx$

Dernière modification par Zebulor (01-03-2023 16:22:44)

Roro

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Re : Commuter intégraler et dérivée

Bonsoir,

Je peux moi aussi répondre partiellement en posant une question :

Que penses-tu de l'égalité suivante ?
$$\sum_{x=0}^n x^2 = \sum_{k=0}^n k^2$$

Tu dois bien comprendre que la lettre $x$ qui est utilisée dans le membre de gauche est une variable "muette", c'est-à-dire qu'elle ne sert que pour définir la somme. Autrement dit, la quantité $\sum_{x=0}^n x^2$ ne dépend pas de $x$.

Si tu veux la dérivée par rapport à $x$, c'est comme si tu dérivais une constante, et tu vas trouver $0$.

Avec les intégrales, c'est la même chose (je déconseille fortement d'écrire le symbole $\int$ sans borne mais c'est une affaire de goût peut être...) :
$$\int_0^1 f(x)dx = \int_0^1 f(k)dk$$
La lettre $x$ est toujours muette et cette valeur est indépendante de $x$...

Ce que suggère Zébulor - en travaillant avec les intégrales, est d'essayer de dériver $\displaystyle \int_0^x f(t)dt$ et dans ce cadre, on a un théorème qui nous dit que
$$\int_0^x f(t)dt = F(x)-F(0)$$
où $F$ est une primitive de $f$, c'est-à-dire une fonction telle que $F'=f$.

On peut effectivement ré-écrire ce théorème sous la forme
$$\Big( \int_0^x f(t)dt \Big)' = \int_0^x f'(t)dt + f(0)...$$

Roro.

Dernière modification par Roro (01-03-2023 18:30:03)

Beubeunoit

Invité

Re : Commuter intégraler et dérivée

Merci Zebulor et Roro pour vos réponses.

Comment pourrait-on réunir les deux cas ( borne dépendent de x et bornes ne dépendent pas de x) en une seule relation ?
C'est-à-dire réunir
$$\Big( \int_0^x f(t)dt \Big)' = \int_0^x f'(t)dt + f(0)... et \frac{\partial }{\partial x} \int fdx=0$$
sans faire de disjonction de cas ?

Merci d'avance de votre réponse.

Roro

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Re : Commuter intégraler et dérivée

Je ne comprend pas trop où tu veux en venir, mais tu peux considérer cette formulation un peu plus générale :
$$\frac{\partial}{\partial x} \int_0^{a(x)} f(t)dt = a'(x)\Big( \int_0^{a(x)} f'(t) dt + f(0) \Big)$$
qui te redonne les deux cas selon que tu choisisses $a(x)=x$ où $a(x)=constante$.

Roro.

Dernière modification par Roro (01-03-2023 21:25:15)