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convergence

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Sup et Inf

Bonsoir

S'il vous plait comment determiner sup et inf de cet ensemble [tex]\{\dfrac{1}{(-1)^n n+(-1)^m m}, n,m\in \mathbb{N}^*\}[/tex]

Merci

Roro

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Re : Sup et Inf

Bonjour,

Qu'as-tu essayé ?

Je n'ai pas de méthode très élégante, mais une étude des valeurs pour $n$ et $m$ petits permettent d'avoir une idée des bornes (qui sont atteintes...).

Il faut ensuite montrer que ce sont effectivement les bonnes bornes.

Pour cela, j'ai regardé ce qui se passait selon les cas suivants :
1°) $n$ et $m$ pairs
2°) $n$ et $m$ impairs
3°) $n$ pair, $m$ impair, $n>m$
4°) $n$ pair, $m$ impair, $n<m$

Roro.

Dernière modification par Roro (22-02-2023 20:29:43)

convergence

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Re : Sup et Inf

pour n pair et m impair je retrouve 1 et pour n impair et m pair je retrouve -1.

j'ai essayé un cas spéciale  n=2k et m=2k+1 je retrouve 1 et le cas n=2k+1 et m=2k je retrouve -1

Mais je n'arrive pas a montrer que pour tout n,m de [tex]\mathbb{N}^*[/tex]

[tex]-1\leq \dfrac{1}{(-1)^n n+(-1)^m m}\leq1[/tex]

Dernière modification par convergence (22-02-2023 21:40:22)

Roro

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Re : Sup et Inf

pour n pair et m impair je retrouve 1 et pour n impair et m pair je retrouve -1.

Oui. Et pour les autres cas ?

Je me demande si je peux écrire A sous forme d'union  des 4 ensembles ?

Qu'est ce que tu en penses ? (réponse : oui)

Roro.

convergence

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Re : Sup et Inf

désolé j'ai modifié mon message excusez moi.

pour n=2k et m=2k'  je trouve [tex]\dfrac{1}{2k+2k'}[/tex]

pour n=2k+1 et m=2k'+1  je trouve [tex]\dfrac{1}{-2((k+k')+1)}[/tex]

pour n=2k et m=2k'+1  je trouve [tex]\dfrac{1}{2(k-k')-1}>0[/tex]

pour n=2k et m=2k'+1  je trouve [tex]\dfrac{1}{2k-(2k'+1)}<0[/tex]

je ne sais pas comment resumer tout cela

Roro

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Re : Sup et Inf

Si tu as trouvé des cas où la valeur est $1$, et d'autre cas où la valeur est $-1$, il te reste à montrer que pour tout $n$ et $m$ tu as
$$|u_{n,m}| \leq 1 \qquad \qquad (*)$$
(en notant $u_{n,m}$ la quantité que tu imagines...)

pour n=2k et m=2k'  je trouve [tex]\dfrac{1}{2k+2k'}[/tex]

pour n=2k+1 et m=2k'+1  je trouve [tex]\dfrac{1}{-2((k+k')+1)}[/tex]

Dans ces deux cas, tu dois pouvoir montrer facilement $(*)$.

pour n=2k et m=2k'+1  je trouve [tex]\dfrac{1}{2(k-k')-1}>0[/tex]

pour n=2k et m=2k'+1  je trouve [tex]\dfrac{1}{2k-(2k'+1)}<0[/tex]

Tu as écris deux fois la même chose... il faut que tu distingues le cas où $k<k'$, de celui où $k'>k$... et pour chacun des cas montrer $(*)$.

Roro.

Dernière modification par Roro (22-02-2023 21:55:57)

Glozi

Invité

Re : Sup et Inf

Bonsoir,
En complément de ce que t'explique Roro, une petite observation utile est la suivante :
Si $k \in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$ alors $|k|\geq 1$,
Une fois que tu auras fini ton exo tu pourras réfléchir à comment utiliser le fait ci dessus (ça permet notamment de ne pas faire de distinction de cas).
Bonne soirée