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ElMathador

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Question géométrie différentielle

Bonjour,
nous avons commencé le cours de geo diff mais je suis complètement perdu avec toutes ces nouvelles notions. Je vous joins l'exercice sur lequel je bloque :

https://www.cjoint.com/c/MBrlYXv3eI8

Je comprends bien l'énoncé, le fait que A soit régulier et non B, mais au moment de traiter q1) je bloque, impossible d'avancer.
Alors par l'absurde me semble être une bonne idée, en considérant un arc géométrique C de support D et montrer que in fine C=A mais je ne vois pas comment procéder, merci.

Dernière modification par ElMathador (17-02-2023 12:53:42)

Glozi

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Re : Question géométrie différentielle

Bonjour,
Dis moi si je me trompe, car je ne suis pas familier avec cette terminologie, mais un arc géométrique doit être une classe d'équivalence de $(I,f : I \to \mathbb{R}^2)$ où $I$ intervalle de $\mathbb{R}$ et $f$ une fonction de classe $\mathcal{C}^k$ par exemple. En disant que $(I,f)\sim (J,g)$ s'il existe un $\mathcal{C}^k$ difféo $\varphi : I \to J$ tel que $f = g \circ \varphi$.

J'imagine qu'on dit qu'un arc géométrique est régulier si et seulement si pour tout $(I,f)$ dans sa classe d'quivalence alors $f'$ ne s'annule pas sur $I$. (c'est en fait indépendant du choix du représentant, il suffit donc de le vérifier pour un seul représentant).

(si tu as des définitions différentes, je pense qu'il serait utile que tu les expliques).

Maintenant revenons à ton exo, supposons que $(J,g : J \to \mathbb{R}^2)$ soit régulier et de support $D$. Le but est de montrer que $(J,g)$ est dans la même classe d'équivalence que ton $(\mathbb{R}, f)$ (avec $f(t) = (t,0)$), ainsi ils représenteront le même arc géométrique. Autrement dit il faut trouver un $\varphi$ un $\mathcal{C}^k$ difféo tel que ... quel candidat peut-on prendre et pourquoi est-t-il légitime de le prendre ?

Bonne journée

ElMathador

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Re : Question géométrie différentielle

Bonjour glozi, tu as raison de me demander de préciser les définitions étant donné que je risque de reposer des question sur la geo diff....

Premièrement pour la terminologie, les définitions que tu m'as donné sont bien celles de mon cours, auquel j'ajouterais :

- Un point d’un arc géométrique A est une classe d’équivalence de triplets (I, f, t), où (I, f ) paramètre A et t ∈ I, pour la relation d’équivalence (I, f, t) ∼ (J, g, s) s’il existe un reparamétrage θ : J→ I tel que g = f ◦ θ et t = θ(s). L’élément commun f (t) = g(s) ∈ R^n est l’image du point.
-Un point p = f (t) de A est régulier si f ′(t)  = 0. Alors la droite affine f (t)+Rf ′(t) est la tangente à A en p. A est régulier si tous ses points le sont.

Ceci étant fait, j'ai trouvé que φ(t) = t + b avec b un réel quelconque fonctionne :

https://www.cjoint.com/c/MBrpxsOgqs8

Plus je regarde ce que j'ai fait, plus j'ai l'impression d'avoir écrit une hérésie....
Merci.

Dernière modification par ElMathador (17-02-2023 16:48:49)

Glozi

Invité

Re : Question géométrie différentielle

Attention :
si $\varphi(t)=s$ et si $f = g\circ \varphi$ on a bien $f(t) = g(s)$ mais on n'a pas a priori $f'(t) = g'(s)$. (il faut utiliser la dérivation en chaine comme tu l'as fait après).

Je donne un coup de pouce : si $(J,g)$ paramétrise $D$, alors on écrit $g : J \to \mathbb{R}^2$ comme $g=(g_1,g_2)$ avec $g_i : J \to \mathbb{R}$. Que peut-on dire de $g_2$ ? Que peut-on dire de $g_1$ en utilisant l'hypothèse de régularité ?

Si $\varphi : \mathbb{R}\to J$ est un difféo tel que $f = g\circ \varphi$ comment traduire cela sur $g_1$ ? Qui est donc alors $\varphi$ en fonction de $g_1$ ?

NB : tu peux réfléchir à ce qui se passe avec les exemples suivants :
1. $(\mathbb{R}, t\mapsto (at+b,0))$ (avec $a\neq 0$ et $b\in \mathbb{R}$).
2. $(]-\pi/2,\pi/2[, t \mapsto (\tan(t),0)).$
3. $(]0,\infty[, t\mapsto (\ln(t),0)).$
Parmi ces exemples lesquels sont réguliers de supports $D$ et pourquoi ces derniers représentent-ils bien le même arc géométrique $A$ que $(\mathbb{R}, t\mapsto (t,0))$ ? (explicite le $\varphi$ correspondant).

Bonne journée

ElMathador

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Re : Question géométrie différentielle

Merci, je reviens vers toi très vite....

ElMathador

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Re : Question géométrie différentielle

Alors donc,

Je vais commencer par répondre aux exemples que tu m'as donné :

Les trois sont réguliers et de support D (les fonctions associées sont à valeurs dans R tout entier pour la première composante et nul pour la seconde; et de dérivées non nuls). Pour les φ associés :
1. φ₁ : t↦(t-b)/a
2. φ₂ : t↦arctan(t)
3.φ₃ : t↦exp(t)

Ensuite, dans g=(g1,g2) je comprends que g2 est nulle sur J et que g1 doit être dérivable de dérivée non nulle.

f(t) = g(φ(t))
(t,0) = ( g1(φ(t)) ; g2(φ(t)) )
Ce qui nous donne Id = g1 ∘ φ

Donc φ est la bijection réciproque de g1. Maintenant est ce que dire que g1 admet toujours une bijection réciproque car il est support de D, c'est à dire g1(R) = R est vrai ?

Merci

Glozi

Invité

Re : Question géométrie différentielle

Bonsoir,

Donc φ est la bijection réciproque de g1.

Oui c'est tout à fait exact c'est ce que je voulais que tu vois.

Maintenant est ce que dire que g1 admet toujours une bijection réciproque car il est support de D, c'est à dire g1(R) = R est vrai ?

(j'imagine que tu voulais dire $g_1(J) = \mathbb{R}$)

Attention, ici il faut être très attentif et l'argument que tu invoques ne me convainc pas vraiment.
Je propose plusieurs cas :
1. $g_1(t)= t^3-t$,
2. $g_1(t)= t^3$,
3. $g_1(t)=t^3+t$.

Dans tous les cas on a $g_1(\mathbb{R})= \mathbb{R}$ (surjectivité)
Cela ne suffit pas à avoir une bijection (cas $1.$ non bijectif).

Dans le cas $2$ on a bien la bijectivité pourtant ... il se passe quelque chose qui ne se passe pas avec le cas 3.

Rappel : le but est d'obtenir un $\varphi$ un $\mathcal{C}^k$ difféo (c'est à dire $\varphi \textbf{ et }\varphi^{-1}$ sont $\mathcal{C}^k$)...

Je te laisse essayer de reprendre le raisonnement pour la q1

Bonne soirée

ElMathador

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Re : Question géométrie différentielle

Merci glozi

ElMathador

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Re : Question géométrie différentielle

Bonjour, j'avance doucement mais surrment mais n'arrive pas montrer que g est injectif ( ou φ surjectif) : (j'ai préféré tout reprendre)

https://www.cjoint.com/c/MBsk7KwSVw8

Je renvoie à un moment à la définition d'arc paramétré pour dire que g est de classe Ck :

Un arc paramétré de classe Ck, k ∈ N, est un couple (I, f ) où I ⊂ R est un intervalle ouvert
et f : I→ R^n est une application de classe Ck.

Si mon raisonnement est bon, montrer l'injection de g permettrai de terminer la question.

Pour répondre à tes exemples, 2. et 3. sont tous deux bijectif cependant 2. n'est pas régulier, sa dérivée s'annule en 0 et donc sa bijection réciproque n'est pas C1; était-ce que tu voulais que je vois ?

Merci

Glozi

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Re : Question géométrie différentielle

Bonjour,
Il y a plein de bonnes idées dans ton raisonnement, mais elles sont mal agencées (erreurs de raisonnement).
Tu dis montrons que $(\mathbb{R},f) \sim (J,g)$, ensuite un $\varphi$ apparait d'on ne sait où ? comment est-il définit ? Puis tu conclus que $\varphi$ est un $\mathcal{C}^k$ difféo... La structure de la preuve n'est pas bonne.

Ce que tu peux faire c'est dire que tu commences par chercher des conditions nécessaires pour que $(\mathbb{R},f) \sim (J,g)$. Autrement dit tu dis supposons que $(\mathbb{R},f) \sim (J,g)$, alors il existe un $\varphi : \mathbb{R} \to J$ un $\mathcal{C}^k$ difféo (ce n'est pas une conclusion mais une hypothèse), tel que $f = g\circ \varphi$, alors patati patata [...] alors $g_1 \circ \varphi = id_\mathbb{R}$
Alors en particulier puisque $\varphi$ est bijectif, alors $g_1 = [...]$ et donc $g_1$ est un [...]

Maintenant que tu as des conditions nécéssaires (tu as vu ce que devait nécessairement être $\varphi$) alors on passe à la preuve elle même :
Soit $(J,g)$ un paramétrage régulier de $D$. Trouvons $\varphi$ un $\mathcal{C}^k$ difféo tel que $f = g\circ \varphi$. Vu notre étude précédente on pose $\varphi = [...]$ il est légitime de faire cela car [...] (utiliser l'hypothèse de régularité). Vérifions que ce choix de $\varphi$ fonctionne bien, en effet [...]

Les [...] sont les trous à compléter.

Quelques remarques :
1. écrire $g_1'(J)\neq 0$ ne fait aucun sens
2. C'est quoi ce théorème de la fonction réciproque ? Quelles sont ses hypothèses, pourquoi sont-elles vérifiées et quelle est sa conclusion ?
3. Je le rappelle encore une fois, mais la stratégie de la preuve est la suivante : on se donne n'importe quel $(J,g)$ régulier qui paramétrise $D$, l'objectif est de construire (en fonction de $(J,g)$) un $\mathcal{C}^k$ difféo $\varphi$ tel que $f = g\circ \varphi$. Il faudra vérifier que la définition de $\varphi$ que tu proposes donne bien un $\mathcal{C}^k$ difféo et aussi que $f=g\circ \varphi$.

Pour répondre à tes exemples, 2. et 3. sont tous deux bijectif cependant 2. n'est pas régulier, sa dérivée s'annule en 0 et donc sa bijection réciproque n'est pas C1; était-ce que tu voulais que je vois ?

Oui c'est effectivement ça ! on peut être $\mathcal{C}^1$ bijectif mais avoir sa bijection réciproque non $\mathcal{C}^1$.

Bonne journée

ElMathador

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Re : Question géométrie différentielle

Bonjour, merci de tes retours, c'est vrai que ma méthodologie laisse à désirer....
Dis moi si je me trompe mais c'est bien un raisonnement d'analyse synthèse ?

Glozi

Invité

Re : Question géométrie différentielle

Bonjour,
Je ne suis pas sur de savoir ce que c'est un "raisonnement d'analyse synthèse" mais peut-être qu'il s'agit bien de ça ? Il faudrait mieux demander à quelqu'un d'autre pour le coup car je ne suis pas familier avec cette notion.
Bonne journée

Zebulor

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Re : Question géométrie différentielle

Bonjour,

petite incursion :

Pour répondre à la question sur l'analyse synthèse,  j'ai en mémoire la réponse de Michel Coste dans le post #8 de cette discussion :

https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=11162

Bonne journée

ElMathador

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Re : Question géométrie différentielle

J'ai à nouveau repris du début car j'ai l'impression d'avoir mal abordé l'exercice en terme de rédaction :

https://www.cjoint.com/c/MBsomXLXLZ8

1) Attention il y a deux pages dans le lien que j'ai donné
2) Je n'ai pas démontré le théorème que je cite mais je sais qu'il se fait par récurrence sur k un entier naturel
3) Dans la deuxième page ( la vérification que f = g(φ) ), est ce que j'ai eu raison de poser g = (g1;0) ou est ce une erreur.

Merci!

ElMathador

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Re : Question géométrie différentielle

Merci zebulor, ça semble bien être le raisonnement employé ici, sauf erreur de ma part...

Glozi

Invité

Re : Question géométrie différentielle

Merci Zebulor pour l'information !
ElMathador, tu écris "$g$ est un $\mathcal{C}^k$ difféo par définition, il en est de même pour $g_1$". Cela n'est absolument pas correct, déjà ça veut dire quoi que $g$ est un $\mathcal{C}^k$ difféo ? Ensuite qui dit a priori que $g$ est bijectif ? que $g_1$ est bijectif ?

Par exemple $([0,2\pi[, g: t\mapsto (\cos(t),\sin(t)))$ ici $g$ est bijectif mais ni $g_1$ ni $g_2$ n'est injectif.
Autre exemple $(\mathbb{R}, g: t\mapsto (\cos(t),\sin(t))$, ici $g$ n'est même pas bijectif (pourtant c'est bien régulier).

La seule chose qu'on sait c'est que $g : J \to \mathbb{R}^2$ est de classe $\mathcal{C}^k$ et que $g'(x)\neq 0$ pour tout $x$ dans $J$. (attention $g'(x)$ est un vecteur de $\mathbb{R}^2$).

Le théorème que tu cites est erroné, par exemple $f : [0,1[ \cup [2,3] \to [0,2]$ tel que $f(x)=x$ si $x\in [0,1[$ et $f(x)=x-1$ si $x\in [2,3]$, alors $f$ vérifie les hypothèses de ton théorème pourtant $f^{-1}$ n'est pas continu. De plus, on n'a pas l'hypothèse de bijectivité de $g_1$ a priori (il faudrait plutôt que ce soit dans la conclusion de notre théorème).

Que dire d'une fonction $g_1 : J \to \mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^k$ ($k\geq 1$), avec $J$ un intervalle de $\mathbb{R}$, et $g_1'$ ne s'annulant pas sur $J$ ?

Bonne journée

ElMathador

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Re : Question géométrie différentielle

Merci pour tes réponses,

1) Tu as raison, rien ne dit qu'a priori g est un Ck-difféomorphisme, je me suis trompé dans la lecture de ma définition.

2) g est Ck donc g1 est également Ck

3) une fonction g1:J→R de classe Ck (k≥1), avec J un intervalle de R, et g′1 ne s'annulant pas sur J est continue strictement monotone

4) Est il vrai de dire que :"Si une fonction f réelle continue et de dérivée non nul alors elle est bijective, si de plus elle est Ck, sa réciproque l'est également."

Dernière modification par ElMathador (18-02-2023 16:22:15)

ElMathador

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Re : Question géométrie différentielle

Merci encore

Glozi

Invité

Re : Question géométrie différentielle

1) et 2) ok
3) On peut dire beaucoup mieux !! je pense que tu devrais revoir un coup tes théorèmes d'analyse réelle :

Si $g_1 : J \to \mathbb{R}$ est de classe $\mathcal{C}^k$ (pour un $k\geq 1$) et si $J$ est un intervalle, et si $g_1'$ ne s'annule pas sur $J$, alors
- par le théorème des valeurs intermédiaires, $g_1'$ est de signe constant (strictement positif ou strictement négatif) sur $J$
- $g_1$ est donc strictement monotone sur $J$ (en particulier $g_1$ est injective).
- $g_1$ réalise alors une bijection de $J$ sur l'intervalle $g_1(J)$ (le fait que $g_1(J)$ est un intervalle vient du théorème des valeurs intermédiaire). Notons $h_1 : g_1(J) \to J$ la fonction réciproque de $g_1$.
- Puisque $g_1$ est continue alors $h_1$ est également continue (théorème de la bijection continue).
- Soit $a_0\in J$, puisque $g_1'(a_0)\neq 0$, alors $h_1$ est dérivable en $b_0=g_1(a_0)$, en effet $\frac{h_1(b)-h_1(b_0)}{b-b_0} = \frac{h_1(b)-h_1(b_0)}{g_1(h_1(b)) - g_1(h_1(b_0))} \xrightarrow[b\to b_0]{} \frac{1}{g_1'(h_1(b_0))}$ (on a utilisé la continuité de $h_1$ en $b_0$ pour conclure ici).
Ainsi $h_1'$ est dérivable sur $g_1(J)$ et $h_1'(y) = \frac{1}{g_1'(h_1(y))}$.
- On déduit via cette formule et un argument "ping-pong" que $h_1$ est $\mathcal{C}^k$ sur $g_1(J)$.
- Finalement $g_1$ est un $\mathcal{C}^k$ difféo de $J$ sur $g_1(J)$

Retour à l'exo : pourquoi notre $g_1$ vérifie les hypothèses qui permettent de faire de raisonnement ci dessus et que vaut $g_1(J)$ ?

4) il manque une hypothèse cruciale que j'ai mis en gras ci dessus (par ailleurs je préfère dire "de dérivée ne s'annulant pas" que "de dérivée non nulle" pour éviter toute ambigüité).

Bonne journée