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user1992

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Relation coefficients-racines

Bonjour à tous,

Soit $\mathbb{K}$ un corps et $P$ un polynôme unitaire de degré $n$ et $\lambda_i, a_ i \in \mathbb{K} $ tels que : $$(X - \lambda_1) \times \cdots \times (X - \lambda_n) = X^n + \sum_{k=0}^{n-1} a_k \cdot X^k.$$

Je cherche à retrouver la formule coefficients-racines par le raisonnement.

On trouve facilement $a_0$ par évaluation (on fait $X=0$) et on trouve $a_0 = (-1)^n \lambda_1 \times \cdots \times \lambda_n. $ Mais je n'arrive pas à faire  le raisonnement pour trouver la formule qui donne $a_k$ en fonction des $\lambda_ i.$ Si on veut par exemple identifier $a_k,$ on regarde le membre de gauche ci-dessus, puis en développant si on choisi $X$ $k$ fois, alors $\lambda_i$ apparaît $n-k$ fois ce qui donne un terme du développement : $(-1)^{n-k} \lambda_{i_1} \times \cdots \times \lambda_{i_k},$ après je ne vois pas comment faire.

D'avance merci pour vos retours,

User.

Dernière modification par user1992 (15-02-2023 15:04:00)

Glozi

Invité

Re : Relation coefficients-racines

Bonjour,
Tu es sur la bonne voie mais tu as fais une petite erreur dans les indices de tes $\lambda_i$ (il faut aller jusqu'à $\lambda_{i_{n-k}}$ s'il y a bien $n-k$ facteurs de type $\lambda_i$.
Si on veut le coeff de vant $X^k$ (ie si on veut $a_k$). On imagine qu'on développe ton membre de gauche, on va obtenir une somme de plein de termes (chaque terme de la forme $\lambda X^i$ avec un certain $\lambda\in \mathbb{K}$ et $0\leq i\leq n$). Comment obtenir du $X^k$ ? Il faut choisir $k$ parenthèses parmi les $n$ desquelles on va prendre le $X$ et pour les $n-k$ autres on prend le $-\lambda_i$ (c'est ce que tu veux faire si j'ai bien compris).

Choisir ces $k$ parenthèses revient à choisir un uplet $(i_1,i_2,\dots,i_{n-k})$ avec $1\leq i_1 < i_2 < \dots < i_{n-k} \leq n$ (ce sont les indices qui correspondent aux parenthèses desquelles on prend le $-\lambda_i$). Ce choix de uplet donnera un terme $(-1)^{n-k}\lambda_{i_1}\lambda_{i_2}\dots\lambda_{i_{n-k}}X^k$.

Ainsi on trouve bien $$a_k = \sum_{1\leq i_1 < i_2 < \dots < i_{n-k} \leq n}(-1)^{n-k}\lambda_{i_1}\lambda_{i_2}\dots\lambda_{i_{n-k}}.$$

Bonne journée

user1992

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Re : Relation coefficients-racines

Merci à toi Glozi !

eloidrai

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Re : Relation coefficients-racines

Par récurrence.
On veut monter pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$ (X - \lambda_1) \times \cdots \times (X - \lambda_n) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k} \sigma_{n-k} \cdot X^k $$

Initialisation immédiate.

Hérédité
On suppose la propriété vraie au rang $n$. On a alors :

\begin{align*}
& (X - \lambda_1) \times \cdots \times (X - \lambda_{n}) \cdots \times (X - \lambda_{n+1}) \\
= & \left ( \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k} \sigma_{n-k}(\lambda_1 \cdots \lambda_n) \cdot X^{k+1} \right ) - \left ( \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k} \lambda_{n+1} \sigma_{n-k}(\lambda_1 \cdots \lambda_n) \cdot X^k \right ) \\
= & \sigma_0(\lambda_1 \cdots \lambda_n) \cdot X^{k+1} +
(-1)^{n+1} \lambda_{n+1} \sigma_{n}(\lambda_1 \cdots \lambda_n) +  \left ( \sum_{k=1}^{n} (-1)^{n+1-k} ( \lambda_{n+1} \sigma_{n-k}(\lambda_1 \cdots \lambda_n) + \sigma_{n+1-k}(\lambda_1 \cdots \lambda_n) ) \cdot X^k \right )
\end{align*}

On remarque que, pour tout $1 \leq k \leq n $  $$ \lambda_{n+1} \sigma_{n-k}(\lambda_1 \cdots \lambda_n) + \sigma_{n+1-k}(\lambda_1 \cdots \lambda_n) = \sigma_{n+1-k}(\lambda_1 \cdots \lambda_{n+1})  $$

De plus :
$$ \sigma_0(\lambda_1 \cdots \lambda_n) = 1 = \sigma_0(\lambda_1 \cdots \lambda_{n+1}) ~\text{ et }~\lambda_{n+1} \sigma_{n-k}(\lambda_1 \cdots \lambda_n) = \sigma_{n+1-k}(\lambda_1 \cdots \lambda_{n+1})$$

Ainsi, on a bien
$$ (X - \lambda_1) \times \cdots \times (X - \lambda_{n+1}) = \sum_{k=0}^{n+1} (-1)^{n+1-k} \sigma_{n+1-k} \cdot X^k $$

Conclusion
On a bien montré la propriété de manière très scolaire mais la démarche est laborieuse et un raisonnement combinatoire est plus adapté. ;)

Dernière modification par eloidrai (15-02-2023 17:17:42)