Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Espeluque

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Fonction C1, lipschtzienne et voisinage.

Bonjour, j'ai une question à vous poser,

Supposons f une fonction C1 sur un voisinage ouvert U d'un intervalle [a, b] de R (à valeur dans un intervalle I quelconque), f est alors lipschitzienne sur [a, b] (théorème des accroissements finis), mais peut-on alors dire qu'il existe un autre voisinage de [a, b] dans U tel que f est lipschitzienne sur ce voisinage ? Ma première idée serait de dire que le sup de la dérivée de f est atteint sur ce voisinage mais je suis ne pas sûr de ce que je raconte.
Merci d'avance !

Roro

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Re : Fonction C1, lipschtzienne et voisinage.

Bonsoir,

Tu peux toujours trouver un intervalle fermé $[a',b']$ tel que $[a,b]\subset [a',b'] \subset U$, avec inclusions strictes.

Roro.

Espeluque

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Re : Fonction C1, lipschtzienne et voisinage.

Merci beaucoup, il n'y aurait pas une condition plus forte si f' ne s'annule pas ?

Roro

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Re : Fonction C1, lipschtzienne et voisinage.

Bonjour,

Comme tu le dis, si tu utilises le théorème des accroissements finis alors, pour tout $(a',b')\in U^2$, tu auras $f$ lischitzienne sur $[a',b']$ avec pour constante de Lipschitz $\sup_{[a',b']}|f'|$.

Je ne comprend pas trop ta dernière remarque ! Le fait que $f'$ s'annule ou non ne change pas le résultat !

Roro.

Espeluque

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Re : Fonction C1, lipschtzienne et voisinage.

Non ce n'est rien je me suis rendu compte que je disais n'importe quoi, merci beaucoup pour ta réponse en tout cas !

Mateo_13

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Re : Fonction C1, lipschtzienne et voisinage.

Bonjour Espeluque,

pas de multi-postage :
https://www.maths-forum.com/superieur/f … 77362.html