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Cr0c0M3chn

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Fonctions localement lipschitziennes

Bonjour,
Après quelques heures de recherche, je ne parviens pas à répondre à la question suivante :
Si f : Rd -> R est localement lipschitzienne selon toutes ses variables, alors f est localement lipschitzienne.
Pourriez vous m'aider ?
Merci et bonne soirée.

Michel Coste

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Re : Fonctions localement lipschitziennes

Bonjour, 
Prends la norme 1 sur [tex]\mathbb R^d[/tex] : [tex]\Vert(x_1,\ldots,x_d\Vert_1 = \sum_{i=1}^d |x_i|[/tex]. Ça se fait facilement. Essaie.

Cr0c0M3chn

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Re : Fonctions localement lipschitziennes

Bonjour, 
Prends la norme 1 sur [tex]\mathbb R^d[/tex] : [tex]\Vert(x_1,\ldots,x_d\Vert_1 = \sum_{i=1}^d |x_i|[/tex]. Ça se fait facilement. Essaie.

Bonjour Michel,
Soit a point de Rd, on veut montrer qu'il existe un voisinage de a et une constante Ka tq |f(x) - f(y)| <= ka * ||x - y||
L'idée que j'avais était d'écrire |f(y) - f(x)|
= |f(y1,y2,...,yd) - f(x1,...,xd)|
= |f(y1,y2,...,yd) - f(x1,y2,..., yd) + f(x1,y2,...,yd) - f(x1,x2,y3,...,yd) +...+ f(x1,...,xd-1,yd) - f(x1,...xd)|
puis on applique l'inégalité triangulaire. On cherche maintenant à majorer les différents |f(x1,...xi-1,yi,...,yd) - f(y1,..,xi-1,xi,yi+1,...yd)|,
qui correspondent bien à l'évaluation d'une des sous fonctions induites par f (dans laquelle on ne fait bouger qu'une seule des variables) et qui est donc par hypothèse effectivement localement lipschitzienne.
Le problème qui me vient est que la constante de lipschitz qui fonctionnent pour chacune de ces fonctions dépend du reste des coordonnées :
posons par exemple f1 : R -> R tq f1(z) = (z,y2,...,yd) alors on a bien que |f1(z) - f1(z')| <= K1|z - z'| quand z et z' sont assez proches de a1, or K1 dépend aussi de y2,...,yd. Ainsi il me semble qu'on ne puisse pas trouver de constante qui fonctionne pour n'importe quel couple (y,z) proche de a.

Michel Coste

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Re : Fonctions localement lipschitziennes

"K1 dépend aussi de y2,...,yd"
Pas quand on reste dans un voisinage de [tex]a[/tex].
Regarde par exemple la définition de "localement lipschitzienne par rapport à la deuxième variable" dans cette page sur le théorème de Cauchy-Lipschitz :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o … %A9cifique

Dernière modification par Michel Coste (07-02-2023 14:22:22)