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audrey24

Invité

prisme droit

Bonjour
Comment calculer le volume d'un prisme droit à base hexagonale ?
Merci d'avance

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : prisme droit

Bonsoir,

Il y a 3 sortes de solides :
les pas pointus, les pointus et la sphère...
Exemples
Cylindres, prismes
Cônes, Pyramides
et la sphère...

Volumes des pas pointus
$\mathcal A \times h$

Volumes des pointus
$\dfrac 1 3 \mathcal A \times h$
Où $\mathcal A$ désigne l'Aire de base

Sphère :
$\dfrac 4 3 \pi R^3$
Et si on coupe la tête d'un cône ou d'une pyramide ?
Il s'agit alors d'un "tronc de cône" ou d'un "tronc de pyramide"
Dans les deux cas, puisque tu coupes la tête d'un cône ou d'une pyramide, tu as enlevé un petit cône ou une petite pyramide au cône ou à la pyramide de départ, le problème se ramène à soustraire au volume de départ, le volume du petit morceau que tu as découpé.
Tu appliques donc 2 fois la formule et tu soustrais les résultats...

Alors

Comment calculer le volume d'un prisme droit à base hexagonale ?

Le problème c'est l'hexagone:
- Si c'est un hexagone régulier : il est composé de 6 triangles égaux dont les côté sont égaux au rayon du cercle circonscrit à l'hexagone.
   L'aire vaut donc 6 fois l'aire d'un triangle équilatéral. l'aire du triangle c'est $a$ c'est la longueur d'un côté, et h celle de la hauteur relative à ce côté : l'aire est donc  $\dfrac{a \times h}{2}$...
Ca, c'est le cas général.

Dans un triangle équilatéral, les 3 côtés ont la même longueur et les 3 hauteurs aussi... $h =\dfrac{a \sqrt 3}{2}$
(Tu retrouves facilement cette valeur avec le théorème de Pythagore).
L'aire du triangle équilatéral de côté a est donc :
$\mathcal A = \dfrac{a\times \dfrac{a \sqrt 3}{2}}{2}=\dfrac{a^2 \sqrt 3}{4}$
Si R est le rayon du cercle : $\mathcal A = \dfrac{R^2 \sqrt 3}{4}$
Et l'aire de l'hexagone régulier est
$\mathcal A = \dfrac{R^2 \sqrt 3}{4}\times 6= \dfrac{3R^2 \sqrt 3}{2}$
- Si l'hexagone n'est pas régulier, alors, il faut calculer les aires de chacun des 6 triangles (ou moins si certains sont égaux) puis les additionner...

Volume
Tu as besoin de connaître la hauteur H de ton prisme droit qui n'est ni pointu ni sphérique et donc :
$\mathcal V = \mathcal A\times H$

Ce serait une grosse erreur d'essayer de retenir par cœur l'aire du triangle équilatéral...
Pour quoi faire, puisqu'on la la retrouve...très vite ?

@+