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user1992

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Suite sommable.

Bonjour,

Soit $(x_k)_{k\in \mathbf{Z}}$ une suite sommable de nombres complexes, on pose $$S_n = \sum_{-n \leqslant k \leqslant n} x_k$$ il s'agit de montrer que la suite $(S_n)$ des sommes partielles converge.

On rappelle qu'une suite de complexes indexée par $\mathbf{Z}$ est sommable si et seulement si il existe $M>0$ tel que pour tout entier naturel $n,$

$$\sum_{-n \leqslant k \leqslant n} \lvert x_k \rvert \leqslant M.$$

J'ai tenté de montrer que $(S_n)$  est une suite de Cauchy :

En séparant les indices positifs des négatifs, on a $$S_n = x_0 + \sum_{k = 1}^{n} x_k + x_{-k}$$

Soient $p>q $ tels que $$S_p -S_q = \sum_{k = q}^{p} x_k + x_{-k} ~(*)$$

Ensuite, je suis bloqué car je ne vois pas comment rendre $(*)$ arbitrairement petite ni comment utiliser l'hypothèse de sommabilité de la suite.

Auriez vous des suggestions ? 

User.

Dernière modification par user1992 (09-01-2023 12:49:48)

Michel Coste

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Re : Suite sommable.

Bonjour,

Tu peux commencer par considérer [tex]T_n=\sum_{k=-n}^n |x_k|[/tex] et montrer que la suite de réels [tex](T_n)[/tex] converge.
Ça pourra être utile pour montrer que [tex](S_n)[/tex] est de Cauchy.

user1992

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Re : Suite sommable.

Bonjour,

La suite $(T_n)$ converge par théorème de convergence monotone : Le terme général est positif et la série est majorée par hypothèse de sommabilité.

On peut écrire  :  $$\lvert S_p - S_q \rvert = \left \lvert \sum_{k = q}^{p} x_k \right \rvert \leqslant  \sum_{k = q}^{p} \lvert x_k \rvert ~ $$

On reconnaît dans le membre de droite le reste partiel d'ordre $q$ de la suite $(T_n),$ lequel tend vers $0$ si $p \to +\infty$ (pour $q$ fixé) puisque la suite $(T_n)$ converge. Alors pour tout $\varepsilon >0,$ il existe un rang $n_0$ tel que si $p> q \geqslant n_0,$ alors $\sum\limits_{k = q}^{p} \lvert x_k \rvert < \varepsilon. $ Ainsi la suite $(S_n)$ est de Cauchy, donc elle converge.

Qu'en pensez vous ?

User.

Dernière modification par user1992 (09-01-2023 12:53:11)

Michel Coste

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Re : Suite sommable.

Je pense que tu as vu l'idée, mais que tu l'as mal écrite : le problème est la phrase "On reconnaît ... converge". Tu y dit quelque chose de faux. Relis et corrige (par exemple, en utilisant la notion de suite de Cauchy).

user1992

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Re : Suite sommable.

Une suite $(x_n)$ est dite de Cauchy si
$$\forall ~ \varepsilon > 0, ~\exists ~ n_0 \in \mathbf{N} , \forall ~p,q \geqslant n_0, ~\lvert x_p  - x_q  \rvert < \varepsilon.$$

Notons $\sum_{k = 0}^{+\infty} \lvert u_k \rvert $ la somme de la série $(T_n)$ et $(R_n)$ la suite des restes donnée pour tout $n$ par  $R_n = \sum_{k = 0}^{+\infty} \lvert u_k \rvert  - T_n.$

En effet, il n'y a aucune raison de penser que $\sum_{k = q}^{p} \lvert u_k \rvert$ désigne le reste de la série $(T_n)$ et qu'il tende vers 0. On peut en revanche déduire de la convergence de la série $(T_n)$ que la suite $(\lvert u_n \rvert) \to 0$ si $n \to +\infty.$

Si on choisit $p,q$ suffisamment grand tels que p = q + 1, alors on peut écrire

$$ \lvert S_p - S_q \rvert  \leqslant \sum_{k = q}^{p} \lvert u_k \rvert = T_p - T_q$$

Puis par téléscopage

$$ \lvert S_p - S_q \rvert  \leqslant \sum_{k = q}^{p} \lvert u_k \rvert = \lvert u_k \rvert $$

Et conclure par comparaison ?

Dernière modification par user1992 (09-01-2023 18:40:38)

Michel Coste

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Re : Suite sommable.

Ça ne va toujours pas.
Ne peux tu pas simplement utiliser le fait que la suite [tex](T_n)[/tex] est de Cauchy, puisqu'elle converge ?

user1992

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Re : Suite sommable.

Comme la suite $(T_n)$ converge alors c'est une suite de Cauchy. Soit $\varepsilon > 0, $ il existe un rang $n_0 \in \mathbf{N}$ tel que si $p,q \geqslant n_0,$  $$\lvert S_p - S_q \rvert  \leqslant \sum_{k = q}^{p} \lvert u_k \rvert = T_p - T_q < \varepsilon.$$

Ce qui conclut notre affaire.

Merci !

Dernière modification par user1992 (09-01-2023 20:12:34)